Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nqercl |
|- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) e. Q. ) |
2 |
|
nqercl |
|- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) e. Q. ) |
3 |
|
mulpqnq |
|- ( ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( /Q ` A ) .Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) ) ) |
4 |
1 2 3
|
syl2an |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) .Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) ) ) |
5 |
|
enqer |
|- ~Q Er ( N. X. N. ) |
6 |
5
|
a1i |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ~Q Er ( N. X. N. ) ) |
7 |
|
nqerrel |
|- ( A e. ( N. X. N. ) -> A ~Q ( /Q ` A ) ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> A ~Q ( /Q ` A ) ) |
9 |
|
elpqn |
|- ( ( /Q ` A ) e. Q. -> ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) ) |
10 |
1 9
|
syl |
|- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) ) |
11 |
|
mulerpqlem |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A .pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) .pQ B ) ) ) |
12 |
11
|
3exp |
|- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B e. ( N. X. N. ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A .pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) .pQ B ) ) ) ) ) |
13 |
10 12
|
mpd |
|- ( A e. ( N. X. N. ) -> ( B e. ( N. X. N. ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A .pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) .pQ B ) ) ) ) |
14 |
13
|
imp |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A ~Q ( /Q ` A ) <-> ( A .pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) .pQ B ) ) ) |
15 |
8 14
|
mpbid |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A .pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) .pQ B ) ) |
16 |
|
nqerrel |
|- ( B e. ( N. X. N. ) -> B ~Q ( /Q ` B ) ) |
17 |
16
|
adantl |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> B ~Q ( /Q ` B ) ) |
18 |
|
elpqn |
|- ( ( /Q ` B ) e. Q. -> ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) ) |
19 |
2 18
|
syl |
|- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) ) |
20 |
|
mulerpqlem |
|- ( ( B e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B .pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) .pQ ( /Q ` A ) ) ) ) |
21 |
20
|
3exp |
|- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B .pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) .pQ ( /Q ` A ) ) ) ) ) ) |
22 |
19 21
|
mpd |
|- ( B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B .pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) .pQ ( /Q ` A ) ) ) ) ) |
23 |
10 22
|
mpan9 |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( B ~Q ( /Q ` B ) <-> ( B .pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) .pQ ( /Q ` A ) ) ) ) |
24 |
17 23
|
mpbid |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( B .pQ ( /Q ` A ) ) ~Q ( ( /Q ` B ) .pQ ( /Q ` A ) ) ) |
25 |
|
mulcompq |
|- ( B .pQ ( /Q ` A ) ) = ( ( /Q ` A ) .pQ B ) |
26 |
|
mulcompq |
|- ( ( /Q ` B ) .pQ ( /Q ` A ) ) = ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) |
27 |
24 25 26
|
3brtr3g |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) .pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) ) |
28 |
6 15 27
|
ertrd |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A .pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) ) |
29 |
|
mulpqf |
|- .pQ : ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) --> ( N. X. N. ) |
30 |
29
|
fovcl |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A .pQ B ) e. ( N. X. N. ) ) |
31 |
29
|
fovcl |
|- ( ( ( /Q ` A ) e. ( N. X. N. ) /\ ( /Q ` B ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) ) |
32 |
10 19 31
|
syl2an |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) ) |
33 |
|
nqereq |
|- ( ( ( A .pQ B ) e. ( N. X. N. ) /\ ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A .pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) <-> ( /Q ` ( A .pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) ) ) ) |
34 |
30 32 33
|
syl2anc |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A .pQ B ) ~Q ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) <-> ( /Q ` ( A .pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) ) ) ) |
35 |
28 34
|
mpbid |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( /Q ` ( A .pQ B ) ) = ( /Q ` ( ( /Q ` A ) .pQ ( /Q ` B ) ) ) ) |
36 |
4 35
|
eqtr4d |
|- ( ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) .Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A .pQ B ) ) ) |
37 |
|
0nnq |
|- -. (/) e. Q. |
38 |
|
nqerf |
|- /Q : ( N. X. N. ) --> Q. |
39 |
38
|
fdmi |
|- dom /Q = ( N. X. N. ) |
40 |
39
|
eleq2i |
|- ( A e. dom /Q <-> A e. ( N. X. N. ) ) |
41 |
|
ndmfv |
|- ( -. A e. dom /Q -> ( /Q ` A ) = (/) ) |
42 |
40 41
|
sylnbir |
|- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` A ) = (/) ) |
43 |
42
|
eleq1d |
|- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` A ) e. Q. <-> (/) e. Q. ) ) |
44 |
37 43
|
mtbiri |
|- ( -. A e. ( N. X. N. ) -> -. ( /Q ` A ) e. Q. ) |
45 |
44
|
con4i |
|- ( ( /Q ` A ) e. Q. -> A e. ( N. X. N. ) ) |
46 |
39
|
eleq2i |
|- ( B e. dom /Q <-> B e. ( N. X. N. ) ) |
47 |
|
ndmfv |
|- ( -. B e. dom /Q -> ( /Q ` B ) = (/) ) |
48 |
46 47
|
sylnbir |
|- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> ( /Q ` B ) = (/) ) |
49 |
48
|
eleq1d |
|- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> ( ( /Q ` B ) e. Q. <-> (/) e. Q. ) ) |
50 |
37 49
|
mtbiri |
|- ( -. B e. ( N. X. N. ) -> -. ( /Q ` B ) e. Q. ) |
51 |
50
|
con4i |
|- ( ( /Q ` B ) e. Q. -> B e. ( N. X. N. ) ) |
52 |
45 51
|
anim12i |
|- ( ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) ) |
53 |
|
mulnqf |
|- .Q : ( Q. X. Q. ) --> Q. |
54 |
53
|
fdmi |
|- dom .Q = ( Q. X. Q. ) |
55 |
54
|
ndmov |
|- ( -. ( ( /Q ` A ) e. Q. /\ ( /Q ` B ) e. Q. ) -> ( ( /Q ` A ) .Q ( /Q ` B ) ) = (/) ) |
56 |
52 55
|
nsyl5 |
|- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) .Q ( /Q ` B ) ) = (/) ) |
57 |
|
0nelxp |
|- -. (/) e. ( N. X. N. ) |
58 |
39
|
eleq2i |
|- ( (/) e. dom /Q <-> (/) e. ( N. X. N. ) ) |
59 |
57 58
|
mtbir |
|- -. (/) e. dom /Q |
60 |
29
|
fdmi |
|- dom .pQ = ( ( N. X. N. ) X. ( N. X. N. ) ) |
61 |
60
|
ndmov |
|- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( A .pQ B ) = (/) ) |
62 |
61
|
eleq1d |
|- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( A .pQ B ) e. dom /Q <-> (/) e. dom /Q ) ) |
63 |
59 62
|
mtbiri |
|- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> -. ( A .pQ B ) e. dom /Q ) |
64 |
|
ndmfv |
|- ( -. ( A .pQ B ) e. dom /Q -> ( /Q ` ( A .pQ B ) ) = (/) ) |
65 |
63 64
|
syl |
|- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( /Q ` ( A .pQ B ) ) = (/) ) |
66 |
56 65
|
eqtr4d |
|- ( -. ( A e. ( N. X. N. ) /\ B e. ( N. X. N. ) ) -> ( ( /Q ` A ) .Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A .pQ B ) ) ) |
67 |
36 66
|
pm2.61i |
|- ( ( /Q ` A ) .Q ( /Q ` B ) ) = ( /Q ` ( A .pQ B ) ) |