Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
resubcl |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A - B ) e. RR ) |
2 |
1
|
3adant3 |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A - B ) e. RR ) |
3 |
|
resubcl |
|- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( C - B ) e. RR ) |
4 |
3
|
ancoms |
|- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C - B ) e. RR ) |
5 |
4
|
3adant1 |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( C - B ) e. RR ) |
6 |
|
mulle0b |
|- ( ( ( A - B ) e. RR /\ ( C - B ) e. RR ) -> ( ( ( A - B ) x. ( C - B ) ) <_ 0 <-> ( ( ( A - B ) <_ 0 /\ 0 <_ ( C - B ) ) \/ ( 0 <_ ( A - B ) /\ ( C - B ) <_ 0 ) ) ) ) |
7 |
2 5 6
|
syl2anc |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( ( A - B ) x. ( C - B ) ) <_ 0 <-> ( ( ( A - B ) <_ 0 /\ 0 <_ ( C - B ) ) \/ ( 0 <_ ( A - B ) /\ ( C - B ) <_ 0 ) ) ) ) |
8 |
|
suble0 |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ 0 <-> A <_ B ) ) |
9 |
8
|
3adant3 |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - B ) <_ 0 <-> A <_ B ) ) |
10 |
|
subge0 |
|- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( C - B ) <-> B <_ C ) ) |
11 |
10
|
ancoms |
|- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ ( C - B ) <-> B <_ C ) ) |
12 |
11
|
3adant1 |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ ( C - B ) <-> B <_ C ) ) |
13 |
9 12
|
anbi12d |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( ( A - B ) <_ 0 /\ 0 <_ ( C - B ) ) <-> ( A <_ B /\ B <_ C ) ) ) |
14 |
|
subge0 |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) ) |
15 |
14
|
3adant3 |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ ( A - B ) <-> B <_ A ) ) |
16 |
|
suble0 |
|- ( ( C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C - B ) <_ 0 <-> C <_ B ) ) |
17 |
16
|
ancoms |
|- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C - B ) <_ 0 <-> C <_ B ) ) |
18 |
17
|
3adant1 |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( C - B ) <_ 0 <-> C <_ B ) ) |
19 |
15 18
|
anbi12d |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( A - B ) /\ ( C - B ) <_ 0 ) <-> ( B <_ A /\ C <_ B ) ) ) |
20 |
19
|
biancomd |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( 0 <_ ( A - B ) /\ ( C - B ) <_ 0 ) <-> ( C <_ B /\ B <_ A ) ) ) |
21 |
13 20
|
orbi12d |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( ( ( A - B ) <_ 0 /\ 0 <_ ( C - B ) ) \/ ( 0 <_ ( A - B ) /\ ( C - B ) <_ 0 ) ) <-> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) \/ ( C <_ B /\ B <_ A ) ) ) ) |
22 |
7 21
|
bitrd |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( ( A - B ) x. ( C - B ) ) <_ 0 <-> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) \/ ( C <_ B /\ B <_ A ) ) ) ) |