Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elex |
|- ( A e. V -> A e. _V ) |
2 |
|
simpll |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> X e. dom card ) |
3 |
|
elmapi |
|- ( f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) -> f : A --> ( ~P X \ { (/) } ) ) |
4 |
3
|
adantl |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> f : A --> ( ~P X \ { (/) } ) ) |
5 |
4
|
frnd |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> ran f C_ ( ~P X \ { (/) } ) ) |
6 |
5
|
difss2d |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> ran f C_ ~P X ) |
7 |
|
sspwuni |
|- ( ran f C_ ~P X <-> U. ran f C_ X ) |
8 |
6 7
|
sylib |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> U. ran f C_ X ) |
9 |
|
ssnum |
|- ( ( X e. dom card /\ U. ran f C_ X ) -> U. ran f e. dom card ) |
10 |
2 8 9
|
syl2anc |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> U. ran f e. dom card ) |
11 |
|
ssdifin0 |
|- ( ran f C_ ( ~P X \ { (/) } ) -> ( ran f i^i { (/) } ) = (/) ) |
12 |
5 11
|
syl |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> ( ran f i^i { (/) } ) = (/) ) |
13 |
|
disjsn |
|- ( ( ran f i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. ran f ) |
14 |
12 13
|
sylib |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> -. (/) e. ran f ) |
15 |
|
ac5num |
|- ( ( U. ran f e. dom card /\ -. (/) e. ran f ) -> E. h ( h : ran f --> U. ran f /\ A. y e. ran f ( h ` y ) e. y ) ) |
16 |
10 14 15
|
syl2anc |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> E. h ( h : ran f --> U. ran f /\ A. y e. ran f ( h ` y ) e. y ) ) |
17 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( h : ran f --> U. ran f /\ A. y e. ran f ( h ` y ) e. y ) ) -> A e. _V ) |
18 |
4
|
ffnd |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> f Fn A ) |
19 |
|
fveq2 |
|- ( y = ( f ` x ) -> ( h ` y ) = ( h ` ( f ` x ) ) ) |
20 |
|
id |
|- ( y = ( f ` x ) -> y = ( f ` x ) ) |
21 |
19 20
|
eleq12d |
|- ( y = ( f ` x ) -> ( ( h ` y ) e. y <-> ( h ` ( f ` x ) ) e. ( f ` x ) ) ) |
22 |
21
|
ralrn |
|- ( f Fn A -> ( A. y e. ran f ( h ` y ) e. y <-> A. x e. A ( h ` ( f ` x ) ) e. ( f ` x ) ) ) |
23 |
18 22
|
syl |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> ( A. y e. ran f ( h ` y ) e. y <-> A. x e. A ( h ` ( f ` x ) ) e. ( f ` x ) ) ) |
24 |
23
|
biimpa |
|- ( ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ A. y e. ran f ( h ` y ) e. y ) -> A. x e. A ( h ` ( f ` x ) ) e. ( f ` x ) ) |
25 |
24
|
adantrl |
|- ( ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( h : ran f --> U. ran f /\ A. y e. ran f ( h ` y ) e. y ) ) -> A. x e. A ( h ` ( f ` x ) ) e. ( f ` x ) ) |
26 |
|
acnlem |
|- ( ( A e. _V /\ A. x e. A ( h ` ( f ` x ) ) e. ( f ` x ) ) -> E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) |
27 |
17 25 26
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( h : ran f --> U. ran f /\ A. y e. ran f ( h ` y ) e. y ) ) -> E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) |
28 |
16 27
|
exlimddv |
|- ( ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) /\ f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) |
29 |
28
|
ralrimiva |
|- ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) -> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) |
30 |
|
isacn |
|- ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) -> ( X e. AC_ A <-> A. f e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) |
31 |
29 30
|
mpbird |
|- ( ( X e. dom card /\ A e. _V ) -> X e. AC_ A ) |
32 |
31
|
expcom |
|- ( A e. _V -> ( X e. dom card -> X e. AC_ A ) ) |
33 |
1 32
|
syl |
|- ( A e. V -> ( X e. dom card -> X e. AC_ A ) ) |