Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oduprs.d |
|- D = ( ODual ` K ) |
2 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
3 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
4 |
2 3
|
isprs |
|- ( K e. Proset <-> ( K e. _V /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) ) |
5 |
4
|
simprbi |
|- ( K e. Proset -> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) |
6 |
5
|
r19.21bi |
|- ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) -> A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) |
7 |
6
|
r19.21bi |
|- ( ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> A. z e. ( Base ` K ) ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) |
8 |
7
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( le ` K ) x /\ ( ( x ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) z ) -> x ( le ` K ) z ) ) ) |
9 |
8
|
simpld |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> x ( le ` K ) x ) |
10 |
|
vex |
|- x e. _V |
11 |
10 10
|
brcnv |
|- ( x `' ( le ` K ) x <-> x ( le ` K ) x ) |
12 |
9 11
|
sylibr |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> x `' ( le ` K ) x ) |
13 |
2 3
|
isprs |
|- ( K e. Proset <-> ( K e. _V /\ A. z e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. x e. ( Base ` K ) ( z ( le ` K ) z /\ ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) ) ) |
14 |
13
|
simprbi |
|- ( K e. Proset -> A. z e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. x e. ( Base ` K ) ( z ( le ` K ) z /\ ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) ) |
15 |
14
|
r19.21bi |
|- ( ( K e. Proset /\ z e. ( Base ` K ) ) -> A. y e. ( Base ` K ) A. x e. ( Base ` K ) ( z ( le ` K ) z /\ ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) ) |
16 |
15
|
r19.21bi |
|- ( ( ( K e. Proset /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> A. x e. ( Base ` K ) ( z ( le ` K ) z /\ ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) ) |
17 |
16
|
r19.21bi |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( z ( le ` K ) z /\ ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) ) |
18 |
17
|
simprd |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) |
19 |
18
|
an32s |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) |
20 |
19
|
ex |
|- ( ( ( K e. Proset /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( Base ` K ) ) -> ( y e. ( Base ` K ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) ) |
21 |
20
|
an32s |
|- ( ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( y e. ( Base ` K ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) ) |
22 |
21
|
imp |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) |
23 |
22
|
an32s |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) -> z ( le ` K ) x ) ) |
24 |
|
vex |
|- y e. _V |
25 |
10 24
|
brcnv |
|- ( x `' ( le ` K ) y <-> y ( le ` K ) x ) |
26 |
|
vex |
|- z e. _V |
27 |
24 26
|
brcnv |
|- ( y `' ( le ` K ) z <-> z ( le ` K ) y ) |
28 |
25 27
|
anbi12ci |
|- ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) <-> ( z ( le ` K ) y /\ y ( le ` K ) x ) ) |
29 |
10 26
|
brcnv |
|- ( x `' ( le ` K ) z <-> z ( le ` K ) x ) |
30 |
23 28 29
|
3imtr4g |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) |
31 |
12 30
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) /\ z e. ( Base ` K ) ) -> ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) ) |
32 |
31
|
ralrimiva |
|- ( ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> A. z e. ( Base ` K ) ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) ) |
33 |
32
|
ralrimiva |
|- ( ( K e. Proset /\ x e. ( Base ` K ) ) -> A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) ) |
34 |
33
|
ralrimiva |
|- ( K e. Proset -> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) ) |
35 |
1
|
fvexi |
|- D e. _V |
36 |
34 35
|
jctil |
|- ( K e. Proset -> ( D e. _V /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) ) ) |
37 |
1 2
|
odubas |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` D ) |
38 |
1 3
|
oduleval |
|- `' ( le ` K ) = ( le ` D ) |
39 |
37 38
|
isprs |
|- ( D e. Proset <-> ( D e. _V /\ A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) A. z e. ( Base ` K ) ( x `' ( le ` K ) x /\ ( ( x `' ( le ` K ) y /\ y `' ( le ` K ) z ) -> x `' ( le ` K ) z ) ) ) ) |
40 |
36 39
|
sylibr |
|- ( K e. Proset -> D e. Proset ) |