Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sseq1 |
|- ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( A C_ ( _|_ ` B ) <-> if ( A e. CH , A , ~H ) C_ ( _|_ ` B ) ) ) |
2 |
|
oveq1 |
|- ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( A +H B ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) +H B ) ) |
3 |
|
oveq1 |
|- ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( A vH B ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) vH B ) ) |
4 |
2 3
|
eqeq12d |
|- ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( ( A +H B ) = ( A vH B ) <-> ( if ( A e. CH , A , ~H ) +H B ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) vH B ) ) ) |
5 |
1 4
|
imbi12d |
|- ( A = if ( A e. CH , A , ~H ) -> ( ( A C_ ( _|_ ` B ) -> ( A +H B ) = ( A vH B ) ) <-> ( if ( A e. CH , A , ~H ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( if ( A e. CH , A , ~H ) +H B ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) vH B ) ) ) ) |
6 |
|
fveq2 |
|- ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( _|_ ` B ) = ( _|_ ` if ( B e. CH , B , ~H ) ) ) |
7 |
6
|
sseq2d |
|- ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( if ( A e. CH , A , ~H ) C_ ( _|_ ` B ) <-> if ( A e. CH , A , ~H ) C_ ( _|_ ` if ( B e. CH , B , ~H ) ) ) ) |
8 |
|
oveq2 |
|- ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( if ( A e. CH , A , ~H ) +H B ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) +H if ( B e. CH , B , ~H ) ) ) |
9 |
|
oveq2 |
|- ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( if ( A e. CH , A , ~H ) vH B ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) vH if ( B e. CH , B , ~H ) ) ) |
10 |
8 9
|
eqeq12d |
|- ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( ( if ( A e. CH , A , ~H ) +H B ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) vH B ) <-> ( if ( A e. CH , A , ~H ) +H if ( B e. CH , B , ~H ) ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) vH if ( B e. CH , B , ~H ) ) ) ) |
11 |
7 10
|
imbi12d |
|- ( B = if ( B e. CH , B , ~H ) -> ( ( if ( A e. CH , A , ~H ) C_ ( _|_ ` B ) -> ( if ( A e. CH , A , ~H ) +H B ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) vH B ) ) <-> ( if ( A e. CH , A , ~H ) C_ ( _|_ ` if ( B e. CH , B , ~H ) ) -> ( if ( A e. CH , A , ~H ) +H if ( B e. CH , B , ~H ) ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) vH if ( B e. CH , B , ~H ) ) ) ) ) |
12 |
|
ifchhv |
|- if ( A e. CH , A , ~H ) e. CH |
13 |
|
ifchhv |
|- if ( B e. CH , B , ~H ) e. CH |
14 |
12 13
|
osumi |
|- ( if ( A e. CH , A , ~H ) C_ ( _|_ ` if ( B e. CH , B , ~H ) ) -> ( if ( A e. CH , A , ~H ) +H if ( B e. CH , B , ~H ) ) = ( if ( A e. CH , A , ~H ) vH if ( B e. CH , B , ~H ) ) ) |
15 |
5 11 14
|
dedth2h |
|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A C_ ( _|_ ` B ) -> ( A +H B ) = ( A vH B ) ) ) |
16 |
15
|
3impia |
|- ( ( A e. CH /\ B e. CH /\ A C_ ( _|_ ` B ) ) -> ( A +H B ) = ( A vH B ) ) |