Metamath Proof Explorer


Theorem ovg

Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010)

Ref Expression
Hypotheses ovg.1
|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
ovg.2
|- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
ovg.3
|- ( z = C -> ( ch <-> th ) )
ovg.4
|- ( ( ta /\ ( x e. R /\ y e. S ) ) -> E! z ph )
ovg.5
|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
Assertion ovg
|- ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( A F B ) = C <-> th ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ovg.1
 |-  ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2 ovg.2
 |-  ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
3 ovg.3
 |-  ( z = C -> ( ch <-> th ) )
4 ovg.4
 |-  ( ( ta /\ ( x e. R /\ y e. S ) ) -> E! z ph )
5 ovg.5
 |-  F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) }
6 df-ov
 |-  ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
7 5 fveq1i
 |-  ( F ` <. A , B >. ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. )
8 6 7 eqtri
 |-  ( A F B ) = ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. )
9 8 eqeq1i
 |-  ( ( A F B ) = C <-> ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C )
10 eqeq2
 |-  ( c = C -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C ) )
11 opeq2
 |-  ( c = C -> <. <. A , B >. , c >. = <. <. A , B >. , C >. )
12 11 eleq1d
 |-  ( c = C -> ( <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
13 10 12 bibi12d
 |-  ( c = C -> ( ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) <-> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) )
14 13 imbi2d
 |-  ( c = C -> ( ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) <-> ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) ) )
15 4 ex
 |-  ( ta -> ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph ) )
16 15 alrimivv
 |-  ( ta -> A. x A. y ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph ) )
17 fnoprabg
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. R /\ y e. S ) -> E! z ph ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
18 16 17 syl
 |-  ( ta -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
19 eleq1
 |-  ( x = A -> ( x e. R <-> A e. R ) )
20 19 anbi1d
 |-  ( x = A -> ( ( x e. R /\ y e. S ) <-> ( A e. R /\ y e. S ) ) )
21 eleq1
 |-  ( y = B -> ( y e. S <-> B e. S ) )
22 21 anbi2d
 |-  ( y = B -> ( ( A e. R /\ y e. S ) <-> ( A e. R /\ B e. S ) ) )
23 20 22 opelopabg
 |-  ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } <-> ( A e. R /\ B e. S ) ) )
24 23 ibir
 |-  ( ( A e. R /\ B e. S ) -> <. A , B >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } )
25 fnopfvb
 |-  ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } Fn { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } /\ <. A , B >. e. { <. x , y >. | ( x e. R /\ y e. S ) } ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
26 18 24 25 syl2an
 |-  ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = c <-> <. <. A , B >. , c >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
27 14 26 vtoclg
 |-  ( C e. D -> ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) )
28 27 com12
 |-  ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( C e. D -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) )
29 28 exp32
 |-  ( ta -> ( A e. R -> ( B e. S -> ( C e. D -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) ) ) ) )
30 29 3imp2
 |-  ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ) )
31 20 1 anbi12d
 |-  ( x = A -> ( ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) <-> ( ( A e. R /\ y e. S ) /\ ps ) ) )
32 22 2 anbi12d
 |-  ( y = B -> ( ( ( A e. R /\ y e. S ) /\ ps ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ch ) ) )
33 3 anbi2d
 |-  ( z = C -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ ch ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
34 31 32 33 eloprabg
 |-  ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
35 34 adantl
 |-  ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
36 30 35 bitrd
 |-  ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. R /\ y e. S ) /\ ph ) } ` <. A , B >. ) = C <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
37 9 36 syl5bb
 |-  ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( A F B ) = C <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
38 biidd
 |-  ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) ) )
39 38 bianabs
 |-  ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> th ) )
40 39 3adant3
 |-  ( ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> th ) )
41 40 adantl
 |-  ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( ( A e. R /\ B e. S ) /\ th ) <-> th ) )
42 37 41 bitrd
 |-  ( ( ta /\ ( A e. R /\ B e. S /\ C e. D ) ) -> ( ( A F B ) = C <-> th ) )