Theorem peano2uz2

Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004)

	Ref	Expression
Assertion	peano2uz2	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) -> ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z	|- ( B e. ZZ -> ( B + 1 ) e. ZZ )
2	1	ad2antrl	|- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> ( B + 1 ) e. ZZ )
3		zre	|- ( A e. ZZ -> A e. RR )
4		zre	|- ( B e. ZZ -> B e. RR )
5		lep1	|- ( B e. RR -> B <_ ( B + 1 ) )
6	5	adantl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ ( B + 1 ) )
7		peano2re	|- ( B e. RR -> ( B + 1 ) e. RR )
8	7	ancli	|- ( B e. RR -> ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) )
9		letr	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
10	9	3expb	|- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ ( B + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
11	8 10	sylan2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ ( B + 1 ) ) -> A <_ ( B + 1 ) ) )
12	6 11	mpan2d	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + 1 ) ) )
13	3 4 12	syl2an	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A <_ B -> A <_ ( B + 1 ) ) )
14	13	impr	|- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> A <_ ( B + 1 ) )
15	2 14	jca	|- ( ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) -> ( ( B + 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B + 1 ) ) )
16		breq2	|- ( x = B -> ( A <_ x <-> A <_ B ) )
17	16	elrab	|- ( B e. { x e. ZZ | A <_ x } <-> ( B e. ZZ /\ A <_ B ) )
18	17	anbi2i	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B e. ZZ /\ A <_ B ) ) )
19		breq2	|- ( x = ( B + 1 ) -> ( A <_ x <-> A <_ ( B + 1 ) ) )
20	19	elrab	|- ( ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } <-> ( ( B + 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B + 1 ) ) )
21	15 18 20	3imtr4i	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. { x e. ZZ | A <_ x } ) -> ( B + 1 ) e. { x e. ZZ | A <_ x } )