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Theorem plyval

Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014)

Ref Expression
Assertion plyval 
|- ( S C_ CC -> ( Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cnex 
 |-  CC e. _V
2 1 elpw2 
 |-  ( S e. ~P CC <-> S C_ CC )
3 uneq1 
 |-  ( x = S -> ( x u. { 0 } ) = ( S u. { 0 } ) )
4 3 oveq1d 
 |-  ( x = S -> ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) = ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
5 4 rexeqdv 
 |-  ( x = S -> ( E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
6 5 rexbidv 
 |-  ( x = S -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) <-> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
7 6 abbidv 
 |-  ( x = S -> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
8 df-ply 
 |-  Poly = ( x e. ~P CC |-> { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( x u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
9 nn0ex 
 |-  NN0 e. _V
10 ovex 
 |-  ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) e. _V
11 9 10 ab2rexex 
 |-  { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } e. _V
12 7 8 11 fvmpt 
 |-  ( S e. ~P CC -> ( Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )
13 2 12 sylbir 
 |-  ( S C_ CC -> ( Poly ` S ) = { f | E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) f = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) } )