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Theorem relexpfldd

Description: The field of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015) (Revised by RP, 30-May-2020) (Revised by AV, 12-Jul-2024)

Ref Expression
Hypothesis relexpfldd.1
|- ( ph -> N e. NN0 )
Assertion relexpfldd
|- ( ph -> U. U. ( R ^r N ) C_ U. U. R )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 relexpfldd.1
 |-  ( ph -> N e. NN0 )
2 relexpfld
 |-  ( ( N e. NN0 /\ R e. _V ) -> U. U. ( R ^r N ) C_ U. U. R )
3 1 2 sylan
 |-  ( ( ph /\ R e. _V ) -> U. U. ( R ^r N ) C_ U. U. R )
4 3 ex
 |-  ( ph -> ( R e. _V -> U. U. ( R ^r N ) C_ U. U. R ) )
5 reldmrelexp
 |-  Rel dom ^r
6 5 ovprc1
 |-  ( -. R e. _V -> ( R ^r N ) = (/) )
7 6 unieqd
 |-  ( -. R e. _V -> U. ( R ^r N ) = U. (/) )
8 uni0
 |-  U. (/) = (/)
9 7 8 eqtrdi
 |-  ( -. R e. _V -> U. ( R ^r N ) = (/) )
10 9 unieqd
 |-  ( -. R e. _V -> U. U. ( R ^r N ) = U. (/) )
11 10 8 eqtrdi
 |-  ( -. R e. _V -> U. U. ( R ^r N ) = (/) )
12 0ss
 |-  (/) C_ U. U. R
13 11 12 eqsstrdi
 |-  ( -. R e. _V -> U. U. ( R ^r N ) C_ U. U. R )
14 4 13 pm2.61d1
 |-  ( ph -> U. U. ( R ^r N ) C_ U. U. R )