Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
reuss |
|- ( ( A C_ B /\ E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) -> E! x e. A ph ) |
2 |
|
riotasbc |
|- ( E! x e. A ph -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph ) |
3 |
1 2
|
syl |
|- ( ( A C_ B /\ E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) -> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph ) |
4 |
|
simp1 |
|- ( ( A C_ B /\ E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) -> A C_ B ) |
5 |
|
riotacl |
|- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A ) |
6 |
1 5
|
syl |
|- ( ( A C_ B /\ E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) -> ( iota_ x e. A ph ) e. A ) |
7 |
4 6
|
sseldd |
|- ( ( A C_ B /\ E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) -> ( iota_ x e. A ph ) e. B ) |
8 |
|
simp3 |
|- ( ( A C_ B /\ E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) -> E! x e. B ph ) |
9 |
|
nfriota1 |
|- F/_ x ( iota_ x e. A ph ) |
10 |
9
|
nfsbc1 |
|- F/ x [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph |
11 |
|
sbceq1a |
|- ( x = ( iota_ x e. A ph ) -> ( ph <-> [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph ) ) |
12 |
9 10 11
|
riota2f |
|- ( ( ( iota_ x e. A ph ) e. B /\ E! x e. B ph ) -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph <-> ( iota_ x e. B ph ) = ( iota_ x e. A ph ) ) ) |
13 |
7 8 12
|
syl2anc |
|- ( ( A C_ B /\ E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) -> ( [. ( iota_ x e. A ph ) / x ]. ph <-> ( iota_ x e. B ph ) = ( iota_ x e. A ph ) ) ) |
14 |
3 13
|
mpbid |
|- ( ( A C_ B /\ E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) -> ( iota_ x e. B ph ) = ( iota_ x e. A ph ) ) |
15 |
14
|
eqcomd |
|- ( ( A C_ B /\ E. x e. A ph /\ E! x e. B ph ) -> ( iota_ x e. A ph ) = ( iota_ x e. B ph ) ) |