Theorem rp-fakeinunass

Description: A special case where a mixture of intersection and union appears to conform to a mixed associative law. (Contributed by RP, 26-Feb-2020)

	Ref	Expression
Assertion	rp-fakeinunass	|- ( C C_ A <-> ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rp-fakeanorass	|- ( ( x e. C -> x e. A ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
2	1	albii	|- ( A. x ( x e. C -> x e. A ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
3		df-ss	|- ( C C_ A <-> A. x ( x e. C -> x e. A ) )
4		dfcleq	|- ( ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) <-> A. x ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) )
5		elun	|- ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> ( x e. ( A i^i B ) \/ x e. C ) )
6		elin	|- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
7	6	orbi1i	|- ( ( x e. ( A i^i B ) \/ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) )
8	5 7	bitri	|- ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) )
9		elin	|- ( x e. ( A i^i ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( B u. C ) ) )
10		elun	|- ( x e. ( B u. C ) <-> ( x e. B \/ x e. C ) )
11	10	anbi2i	|- ( ( x e. A /\ x e. ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
12	9 11	bitri	|- ( x e. ( A i^i ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
13	8 12	bibi12i	|- ( ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
14	13	albii	|- ( A. x ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
15	4 14	bitri	|- ( ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
16	2 3 15	3bitr4i	|- ( C C_ A <-> ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) )