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Theorem rp-fakeinunass

Description: A special case where a mixture of intersection and union appears to conform to a mixed associative law. (Contributed by RP, 26-Feb-2020)

Ref Expression
Assertion rp-fakeinunass
|- ( C C_ A <-> ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rp-fakeanorass
 |-  ( ( x e. C -> x e. A ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
2 1 albii
 |-  ( A. x ( x e. C -> x e. A ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
3 dfss2
 |-  ( C C_ A <-> A. x ( x e. C -> x e. A ) )
4 dfcleq
 |-  ( ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) <-> A. x ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) )
5 elun
 |-  ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> ( x e. ( A i^i B ) \/ x e. C ) )
6 elin
 |-  ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
7 6 orbi1i
 |-  ( ( x e. ( A i^i B ) \/ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) )
8 5 7 bitri
 |-  ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) )
9 elin
 |-  ( x e. ( A i^i ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ x e. ( B u. C ) ) )
10 elun
 |-  ( x e. ( B u. C ) <-> ( x e. B \/ x e. C ) )
11 10 anbi2i
 |-  ( ( x e. A /\ x e. ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
12 9 11 bitri
 |-  ( x e. ( A i^i ( B u. C ) ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) )
13 8 12 bibi12i
 |-  ( ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
14 13 albii
 |-  ( A. x ( x e. ( ( A i^i B ) u. C ) <-> x e. ( A i^i ( B u. C ) ) ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
15 4 14 bitri
 |-  ( ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) <-> A. x ( ( ( x e. A /\ x e. B ) \/ x e. C ) <-> ( x e. A /\ ( x e. B \/ x e. C ) ) ) )
16 2 3 15 3bitr4i
 |-  ( C C_ A <-> ( ( A i^i B ) u. C ) = ( A i^i ( B u. C ) ) )