Metamath Proof Explorer

Theorem sgmmul

Description: The divisor function for fixed parameter A is a multiplicative function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015)

Ref Expression
Assertion sgmmul 
|- ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> ( A sigma ( M x. N ) ) = ( ( A sigma M ) x. ( A sigma N ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpr1 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> M e. NN )
2 simpr2 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> N e. NN )
3 simpr3 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> ( M gcd N ) = 1 )
4 eqid 
 |-  { x e. NN | x || M } = { x e. NN | x || M }
5 eqid 
 |-  { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
6 eqid 
 |-  { x e. NN | x || ( M x. N ) } = { x e. NN | x || ( M x. N ) }
7 ssrab2 
 |-  { x e. NN | x || M } C_ NN
8 simpr 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ j e. { x e. NN | x || M } ) -> j e. { x e. NN | x || M } )
9 7 8 sseldi 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ j e. { x e. NN | x || M } ) -> j e. NN )
10 9 nncnd 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ j e. { x e. NN | x || M } ) -> j e. CC )
11 simpll 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ j e. { x e. NN | x || M } ) -> A e. CC )
12 10 11 cxpcld 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ j e. { x e. NN | x || M } ) -> ( j ^c A ) e. CC )
13 ssrab2 
 |-  { x e. NN | x || N } C_ NN
14 simpr 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> k e. { x e. NN | x || N } )
15 13 14 sseldi 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> k e. NN )
16 15 nncnd 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> k e. CC )
17 simpll 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> A e. CC )
18 16 17 cxpcld 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( k ^c A ) e. CC )
19 9 adantrr 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> j e. NN )
20 19 nnred 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> j e. RR )
21 19 nnnn0d 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> j e. NN0 )
22 21 nn0ge0d 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> 0 <_ j )
23 15 adantrl 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> k e. NN )
24 23 nnred 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> k e. RR )
25 23 nnnn0d 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> k e. NN0 )
26 25 nn0ge0d 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> 0 <_ k )
27 simpll 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> A e. CC )
28 20 22 24 26 27 mulcxpd 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> ( ( j x. k ) ^c A ) = ( ( j ^c A ) x. ( k ^c A ) ) )
29 28 eqcomd 
 |-  ( ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) /\ ( j e. { x e. NN | x || M } /\ k e. { x e. NN | x || N } ) ) -> ( ( j ^c A ) x. ( k ^c A ) ) = ( ( j x. k ) ^c A ) )
30 oveq1 
 |-  ( i = ( j x. k ) -> ( i ^c A ) = ( ( j x. k ) ^c A ) )
31 1 2 3 4 5 6 12 18 29 30 fsumdvdsmul 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || M } ( j ^c A ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || N } ( k ^c A ) ) = sum_ i e. { x e. NN | x || ( M x. N ) } ( i ^c A ) )
32 sgmval 
 |-  ( ( A e. CC /\ M e. NN ) -> ( A sigma M ) = sum_ j e. { x e. NN | x || M } ( j ^c A ) )
33 1 32 syldan 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> ( A sigma M ) = sum_ j e. { x e. NN | x || M } ( j ^c A ) )
34 sgmval 
 |-  ( ( A e. CC /\ N e. NN ) -> ( A sigma N ) = sum_ k e. { x e. NN | x || N } ( k ^c A ) )
35 2 34 syldan 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> ( A sigma N ) = sum_ k e. { x e. NN | x || N } ( k ^c A ) )
36 33 35 oveq12d 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> ( ( A sigma M ) x. ( A sigma N ) ) = ( sum_ j e. { x e. NN | x || M } ( j ^c A ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || N } ( k ^c A ) ) )
37 1 2 nnmulcld 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> ( M x. N ) e. NN )
38 sgmval 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M x. N ) e. NN ) -> ( A sigma ( M x. N ) ) = sum_ i e. { x e. NN | x || ( M x. N ) } ( i ^c A ) )
39 37 38 syldan 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> ( A sigma ( M x. N ) ) = sum_ i e. { x e. NN | x || ( M x. N ) } ( i ^c A ) )
40 31 36 39 3eqtr4rd 
 |-  ( ( A e. CC /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) ) -> ( A sigma ( M x. N ) ) = ( ( A sigma M ) x. ( A sigma N ) ) )