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Theorem smndex1gbas

Description: The constant functions ( GK ) are endofunctions on NN0 . (Contributed by AV, 12-Feb-2024)

Ref Expression
Hypotheses smndex1ibas.m
|- M = ( EndoFMnd ` NN0 )
smndex1ibas.n
|- N e. NN
smndex1ibas.i
|- I = ( x e. NN0 |-> ( x mod N ) )
smndex1ibas.g
|- G = ( n e. ( 0 ..^ N ) |-> ( x e. NN0 |-> n ) )
Assertion smndex1gbas
|- ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( G ` K ) e. ( Base ` M ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 smndex1ibas.m
 |-  M = ( EndoFMnd ` NN0 )
2 smndex1ibas.n
 |-  N e. NN
3 smndex1ibas.i
 |-  I = ( x e. NN0 |-> ( x mod N ) )
4 smndex1ibas.g
 |-  G = ( n e. ( 0 ..^ N ) |-> ( x e. NN0 |-> n ) )
5 elfzonn0
 |-  ( K e. ( 0 ..^ N ) -> K e. NN0 )
6 5 adantr
 |-  ( ( K e. ( 0 ..^ N ) /\ x e. NN0 ) -> K e. NN0 )
7 6 ralrimiva
 |-  ( K e. ( 0 ..^ N ) -> A. x e. NN0 K e. NN0 )
8 eqid
 |-  ( x e. NN0 |-> K ) = ( x e. NN0 |-> K )
9 8 fmpt
 |-  ( A. x e. NN0 K e. NN0 <-> ( x e. NN0 |-> K ) : NN0 --> NN0 )
10 7 9 sylib
 |-  ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( x e. NN0 |-> K ) : NN0 --> NN0 )
11 nn0ex
 |-  NN0 e. _V
12 11 11 elmap
 |-  ( ( x e. NN0 |-> K ) e. ( NN0 ^m NN0 ) <-> ( x e. NN0 |-> K ) : NN0 --> NN0 )
13 10 12 sylibr
 |-  ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( x e. NN0 |-> K ) e. ( NN0 ^m NN0 ) )
14 4 a1i
 |-  ( K e. ( 0 ..^ N ) -> G = ( n e. ( 0 ..^ N ) |-> ( x e. NN0 |-> n ) ) )
15 id
 |-  ( n = K -> n = K )
16 15 mpteq2dv
 |-  ( n = K -> ( x e. NN0 |-> n ) = ( x e. NN0 |-> K ) )
17 16 adantl
 |-  ( ( K e. ( 0 ..^ N ) /\ n = K ) -> ( x e. NN0 |-> n ) = ( x e. NN0 |-> K ) )
18 id
 |-  ( K e. ( 0 ..^ N ) -> K e. ( 0 ..^ N ) )
19 11 mptex
 |-  ( x e. NN0 |-> K ) e. _V
20 19 a1i
 |-  ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( x e. NN0 |-> K ) e. _V )
21 14 17 18 20 fvmptd
 |-  ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( G ` K ) = ( x e. NN0 |-> K ) )
22 eqid
 |-  ( Base ` M ) = ( Base ` M )
23 1 22 efmndbas
 |-  ( Base ` M ) = ( NN0 ^m NN0 )
24 23 a1i
 |-  ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( Base ` M ) = ( NN0 ^m NN0 ) )
25 13 21 24 3eltr4d
 |-  ( K e. ( 0 ..^ N ) -> ( G ` K ) e. ( Base ` M ) )