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Theorem srgcom4

Description: Restricted commutativity of the addition in semirings (without using the commutativity of the addition given per definition of a semiring). (Contributed by AV, 1-Feb-2025) (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses srgcom4.b 
|- B = ( Base ` R )
srgcom4.p 
|- .+ = ( +g ` R )
Assertion srgcom4 
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) .+ Y ) = ( ( X .+ ( Y .+ X ) ) .+ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 srgcom4.b 
 |-  B = ( Base ` R )
2 srgcom4.p 
 |-  .+ = ( +g ` R )
3 srgmnd 
 |-  ( R e. SRing -> R e. Mnd )
4 3 3ad2ant1 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Mnd )
5 simp2 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
6 simp3 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
7 1 2 mndass 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ ( X e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
8 4 5 5 6 7 syl13anc 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
9 8 eqcomd 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ Y ) )
10 9 oveq1d 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) )
11 1 2 srgacl 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ X e. B ) -> ( X .+ X ) e. B )
12 5 11 syld3an3 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ X ) e. B )
13 1 2 mndass 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ ( ( X .+ X ) e. B /\ Y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
14 4 12 6 6 13 syl13anc 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
15 1 2 srgcom4lem 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
16 1 2 srgacl 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
17 1 2 mndass 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( X .+ Y ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( X .+ Y ) ) ) )
18 4 5 6 16 17 syl13anc 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( X .+ Y ) ) ) )
19 1 2 mndass 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ ( Y e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .+ Y ) = ( Y .+ ( X .+ Y ) ) )
20 19 eqcomd 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ ( Y e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( Y .+ ( X .+ Y ) ) = ( ( Y .+ X ) .+ Y ) )
21 4 6 5 6 20 syl13anc 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( X .+ Y ) ) = ( ( Y .+ X ) .+ Y ) )
22 21 oveq2d 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .+ ( X .+ Y ) ) ) = ( X .+ ( ( Y .+ X ) .+ Y ) ) )
23 1 2 srgacl 
 |-  ( ( R e. SRing /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .+ X ) e. B )
24 23 3com23 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ X ) e. B )
25 1 2 mndass 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ ( X e. B /\ ( Y .+ X ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ ( Y .+ X ) ) .+ Y ) = ( X .+ ( ( Y .+ X ) .+ Y ) ) )
26 25 eqcomd 
 |-  ( ( R e. Mnd /\ ( X e. B /\ ( Y .+ X ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .+ ( ( Y .+ X ) .+ Y ) ) = ( ( X .+ ( Y .+ X ) ) .+ Y ) )
27 4 5 24 6 26 syl13anc 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( ( Y .+ X ) .+ Y ) ) = ( ( X .+ ( Y .+ X ) ) .+ Y ) )
28 22 27 eqtrd 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .+ ( X .+ Y ) ) ) = ( ( X .+ ( Y .+ X ) ) .+ Y ) )
29 15 18 28 3eqtrd 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ ( Y .+ X ) ) .+ Y ) )
30 10 14 29 3eqtrd 
 |-  ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) .+ Y ) = ( ( X .+ ( Y .+ X ) ) .+ Y ) )