Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sspims.y |
|- Y = ( BaseSet ` W ) |
2 |
|
sspims.d |
|- D = ( IndMet ` U ) |
3 |
|
sspims.c |
|- C = ( IndMet ` W ) |
4 |
|
sspims.h |
|- H = ( SubSp ` U ) |
5 |
4
|
sspnv |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> W e. NrmCVec ) |
6 |
|
eqid |
|- ( -v ` W ) = ( -v ` W ) |
7 |
1 6
|
nvmcl |
|- ( ( W e. NrmCVec /\ A e. Y /\ B e. Y ) -> ( A ( -v ` W ) B ) e. Y ) |
8 |
7
|
3expb |
|- ( ( W e. NrmCVec /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A ( -v ` W ) B ) e. Y ) |
9 |
5 8
|
sylan |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A ( -v ` W ) B ) e. Y ) |
10 |
|
eqid |
|- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U ) |
11 |
|
eqid |
|- ( normCV ` W ) = ( normCV ` W ) |
12 |
1 10 11 4
|
sspnval |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H /\ ( A ( -v ` W ) B ) e. Y ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) ) |
13 |
12
|
3expa |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A ( -v ` W ) B ) e. Y ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) ) |
14 |
9 13
|
syldan |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) ) |
15 |
|
eqid |
|- ( -v ` U ) = ( -v ` U ) |
16 |
1 15 6 4
|
sspmval |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A ( -v ` W ) B ) = ( A ( -v ` U ) B ) ) |
17 |
16
|
fveq2d |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( A ( -v ` U ) B ) ) ) |
18 |
14 17
|
eqtrd |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( A ( -v ` U ) B ) ) ) |
19 |
1 6 11 3
|
imsdval |
|- ( ( W e. NrmCVec /\ A e. Y /\ B e. Y ) -> ( A C B ) = ( ( normCV ` W ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) ) |
20 |
19
|
3expb |
|- ( ( W e. NrmCVec /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A C B ) = ( ( normCV ` W ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) ) |
21 |
5 20
|
sylan |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A C B ) = ( ( normCV ` W ) ` ( A ( -v ` W ) B ) ) ) |
22 |
|
eqid |
|- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U ) |
23 |
22 1 4
|
sspba |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> Y C_ ( BaseSet ` U ) ) |
24 |
23
|
sseld |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( A e. Y -> A e. ( BaseSet ` U ) ) ) |
25 |
23
|
sseld |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( B e. Y -> B e. ( BaseSet ` U ) ) ) |
26 |
24 25
|
anim12d |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( ( A e. Y /\ B e. Y ) -> ( A e. ( BaseSet ` U ) /\ B e. ( BaseSet ` U ) ) ) ) |
27 |
26
|
imp |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A e. ( BaseSet ` U ) /\ B e. ( BaseSet ` U ) ) ) |
28 |
22 15 10 2
|
imsdval |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. ( BaseSet ` U ) /\ B e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( A D B ) = ( ( normCV ` U ) ` ( A ( -v ` U ) B ) ) ) |
29 |
28
|
3expb |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. ( BaseSet ` U ) /\ B e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( A D B ) = ( ( normCV ` U ) ` ( A ( -v ` U ) B ) ) ) |
30 |
29
|
adantlr |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. ( BaseSet ` U ) /\ B e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( A D B ) = ( ( normCV ` U ) ` ( A ( -v ` U ) B ) ) ) |
31 |
27 30
|
syldan |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A D B ) = ( ( normCV ` U ) ` ( A ( -v ` U ) B ) ) ) |
32 |
18 21 31
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A C B ) = ( A D B ) ) |