Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sspm.y |
|- Y = ( BaseSet ` W ) |
2 |
|
sspm.m |
|- M = ( -v ` U ) |
3 |
|
sspm.l |
|- L = ( -v ` W ) |
4 |
|
sspm.h |
|- H = ( SubSp ` U ) |
5 |
4
|
sspnv |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> W e. NrmCVec ) |
6 |
|
neg1cn |
|- -u 1 e. CC |
7 |
|
eqid |
|- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W ) |
8 |
1 7
|
nvscl |
|- ( ( W e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ B e. Y ) -> ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) e. Y ) |
9 |
6 8
|
mp3an2 |
|- ( ( W e. NrmCVec /\ B e. Y ) -> ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) e. Y ) |
10 |
9
|
ex |
|- ( W e. NrmCVec -> ( B e. Y -> ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) e. Y ) ) |
11 |
5 10
|
syl |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( B e. Y -> ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) e. Y ) ) |
12 |
11
|
anim2d |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( ( A e. Y /\ B e. Y ) -> ( A e. Y /\ ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) e. Y ) ) ) |
13 |
12
|
imp |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A e. Y /\ ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) e. Y ) ) |
14 |
|
eqid |
|- ( +v ` U ) = ( +v ` U ) |
15 |
|
eqid |
|- ( +v ` W ) = ( +v ` W ) |
16 |
1 14 15 4
|
sspgval |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) e. Y ) ) -> ( A ( +v ` W ) ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) ) = ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) ) ) |
17 |
13 16
|
syldan |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A ( +v ` W ) ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) ) = ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) ) ) |
18 |
|
eqid |
|- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U ) |
19 |
1 18 7 4
|
sspsval |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( -u 1 e. CC /\ B e. Y ) ) -> ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) = ( -u 1 ( .sOLD ` U ) B ) ) |
20 |
6 19
|
mpanr1 |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ B e. Y ) -> ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) = ( -u 1 ( .sOLD ` U ) B ) ) |
21 |
20
|
adantrl |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) = ( -u 1 ( .sOLD ` U ) B ) ) |
22 |
21
|
oveq2d |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) ) = ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) B ) ) ) |
23 |
17 22
|
eqtrd |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A ( +v ` W ) ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) ) = ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) B ) ) ) |
24 |
1 15 7 3
|
nvmval |
|- ( ( W e. NrmCVec /\ A e. Y /\ B e. Y ) -> ( A L B ) = ( A ( +v ` W ) ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) ) ) |
25 |
24
|
3expb |
|- ( ( W e. NrmCVec /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A L B ) = ( A ( +v ` W ) ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) ) ) |
26 |
5 25
|
sylan |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A L B ) = ( A ( +v ` W ) ( -u 1 ( .sOLD ` W ) B ) ) ) |
27 |
|
eqid |
|- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U ) |
28 |
27 1 4
|
sspba |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> Y C_ ( BaseSet ` U ) ) |
29 |
28
|
sseld |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( A e. Y -> A e. ( BaseSet ` U ) ) ) |
30 |
28
|
sseld |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( B e. Y -> B e. ( BaseSet ` U ) ) ) |
31 |
29 30
|
anim12d |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( ( A e. Y /\ B e. Y ) -> ( A e. ( BaseSet ` U ) /\ B e. ( BaseSet ` U ) ) ) ) |
32 |
31
|
imp |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A e. ( BaseSet ` U ) /\ B e. ( BaseSet ` U ) ) ) |
33 |
27 14 18 2
|
nvmval |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. ( BaseSet ` U ) /\ B e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( A M B ) = ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) B ) ) ) |
34 |
33
|
3expb |
|- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. ( BaseSet ` U ) /\ B e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( A M B ) = ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) B ) ) ) |
35 |
34
|
adantlr |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. ( BaseSet ` U ) /\ B e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( A M B ) = ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) B ) ) ) |
36 |
32 35
|
syldan |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A M B ) = ( A ( +v ` U ) ( -u 1 ( .sOLD ` U ) B ) ) ) |
37 |
23 26 36
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( A e. Y /\ B e. Y ) ) -> ( A L B ) = ( A M B ) ) |