Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
csbeq2 |
|- ( A. k B = C -> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C ) |
2 |
1
|
ifeq1d |
|- ( A. k B = C -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) |
3 |
2
|
mpteq2dv |
|- ( A. k B = C -> ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) |
4 |
3
|
seqeq3d |
|- ( A. k B = C -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ) |
5 |
4
|
breq1d |
|- ( A. k B = C -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) |
6 |
5
|
anbi2d |
|- ( A. k B = C -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) ) |
7 |
6
|
rexbidv |
|- ( A. k B = C -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) ) ) |
8 |
|
csbeq2 |
|- ( A. k B = C -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) |
9 |
8
|
mpteq2dv |
|- ( A. k B = C -> ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) |
10 |
9
|
seqeq3d |
|- ( A. k B = C -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ) |
11 |
10
|
fveq1d |
|- ( A. k B = C -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) |
12 |
11
|
eqeq2d |
|- ( A. k B = C -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) |
13 |
12
|
anbi2d |
|- ( A. k B = C -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) |
14 |
13
|
exbidv |
|- ( A. k B = C -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) |
15 |
14
|
rexbidv |
|- ( A. k B = C -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) |
16 |
7 15
|
orbi12d |
|- ( A. k B = C -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) ) |
17 |
16
|
iotabidv |
|- ( A. k B = C -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) ) |
18 |
|
df-sum |
|- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) |
19 |
|
df-sum |
|- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) ) ` m ) ) ) ) |
20 |
17 18 19
|
3eqtr4g |
|- ( A. k B = C -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C ) |