Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
swopo.1 |
|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y R z -> -. z R y ) ) |
2 |
|
swopo.2 |
|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x R y -> ( x R z \/ z R y ) ) ) |
3 |
|
id |
|- ( x e. A -> x e. A ) |
4 |
3
|
ancli |
|- ( x e. A -> ( x e. A /\ x e. A ) ) |
5 |
1
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. y e. A A. z e. A ( y R z -> -. z R y ) ) |
6 |
|
breq1 |
|- ( y = x -> ( y R z <-> x R z ) ) |
7 |
|
breq2 |
|- ( y = x -> ( z R y <-> z R x ) ) |
8 |
7
|
notbid |
|- ( y = x -> ( -. z R y <-> -. z R x ) ) |
9 |
6 8
|
imbi12d |
|- ( y = x -> ( ( y R z -> -. z R y ) <-> ( x R z -> -. z R x ) ) ) |
10 |
|
breq2 |
|- ( z = x -> ( x R z <-> x R x ) ) |
11 |
|
breq1 |
|- ( z = x -> ( z R x <-> x R x ) ) |
12 |
11
|
notbid |
|- ( z = x -> ( -. z R x <-> -. x R x ) ) |
13 |
10 12
|
imbi12d |
|- ( z = x -> ( ( x R z -> -. z R x ) <-> ( x R x -> -. x R x ) ) ) |
14 |
9 13
|
rspc2va |
|- ( ( ( x e. A /\ x e. A ) /\ A. y e. A A. z e. A ( y R z -> -. z R y ) ) -> ( x R x -> -. x R x ) ) |
15 |
4 5 14
|
syl2anr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( x R x -> -. x R x ) ) |
16 |
15
|
pm2.01d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -. x R x ) |
17 |
1
|
3adantr1 |
|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( y R z -> -. z R y ) ) |
18 |
2
|
imp |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ x R y ) -> ( x R z \/ z R y ) ) |
19 |
18
|
orcomd |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ x R y ) -> ( z R y \/ x R z ) ) |
20 |
19
|
ord |
|- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) /\ x R y ) -> ( -. z R y -> x R z ) ) |
21 |
20
|
expimpd |
|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x R y /\ -. z R y ) -> x R z ) ) |
22 |
17 21
|
sylan2d |
|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) |
23 |
16 22
|
ispod |
|- ( ph -> R Po A ) |