Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tnglvec.t |
|- T = ( G toNrmGrp N ) |
2 |
|
eqidd |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` G ) ) |
3 |
|
eqid |
|- ( Base ` G ) = ( Base ` G ) |
4 |
1 3
|
tngbas |
|- ( N e. V -> ( Base ` G ) = ( Base ` T ) ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` T ) ) |
6 |
|
ssidd |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> ( Base ` G ) C_ ( Base ` G ) ) |
7 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
8 |
1 7
|
tngplusg |
|- ( N e. V -> ( +g ` G ) = ( +g ` T ) ) |
9 |
8
|
adantl |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` T ) ) |
10 |
9
|
oveqdr |
|- ( ( ( G e. LVec /\ N e. V ) /\ ( x e. ( Base ` G ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) = ( x ( +g ` T ) y ) ) |
11 |
|
lveclmod |
|- ( G e. LVec -> G e. LMod ) |
12 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` G ) = ( Scalar ` G ) |
13 |
|
eqid |
|- ( .s ` G ) = ( .s ` G ) |
14 |
|
eqid |
|- ( Base ` ( Scalar ` G ) ) = ( Base ` ( Scalar ` G ) ) |
15 |
3 12 13 14
|
lmodvscl |
|- ( ( G e. LMod /\ x e. ( Base ` ( Scalar ` G ) ) /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x ( .s ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) |
16 |
15
|
3expb |
|- ( ( G e. LMod /\ ( x e. ( Base ` ( Scalar ` G ) ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( .s ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) |
17 |
11 16
|
sylan |
|- ( ( G e. LVec /\ ( x e. ( Base ` ( Scalar ` G ) ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( .s ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) |
18 |
17
|
adantlr |
|- ( ( ( G e. LVec /\ N e. V ) /\ ( x e. ( Base ` ( Scalar ` G ) ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( .s ` G ) y ) e. ( Base ` G ) ) |
19 |
1 13
|
tngvsca |
|- ( N e. V -> ( .s ` G ) = ( .s ` T ) ) |
20 |
19
|
adantl |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> ( .s ` G ) = ( .s ` T ) ) |
21 |
20
|
oveqdr |
|- ( ( ( G e. LVec /\ N e. V ) /\ ( x e. ( Base ` ( Scalar ` G ) ) /\ y e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x ( .s ` G ) y ) = ( x ( .s ` T ) y ) ) |
22 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` T ) = ( Scalar ` T ) |
23 |
|
eqidd |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> ( Base ` ( Scalar ` G ) ) = ( Base ` ( Scalar ` G ) ) ) |
24 |
1 12
|
tngsca |
|- ( N e. V -> ( Scalar ` G ) = ( Scalar ` T ) ) |
25 |
24
|
adantl |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> ( Scalar ` G ) = ( Scalar ` T ) ) |
26 |
25
|
fveq2d |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> ( Base ` ( Scalar ` G ) ) = ( Base ` ( Scalar ` T ) ) ) |
27 |
25
|
fveq2d |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> ( +g ` ( Scalar ` G ) ) = ( +g ` ( Scalar ` T ) ) ) |
28 |
27
|
oveqdr |
|- ( ( ( G e. LVec /\ N e. V ) /\ ( x e. ( Base ` ( Scalar ` G ) ) /\ y e. ( Base ` ( Scalar ` G ) ) ) ) -> ( x ( +g ` ( Scalar ` G ) ) y ) = ( x ( +g ` ( Scalar ` T ) ) y ) ) |
29 |
|
simpl |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> G e. LVec ) |
30 |
1
|
tnglvec |
|- ( N e. V -> ( G e. LVec <-> T e. LVec ) ) |
31 |
30
|
biimpac |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> T e. LVec ) |
32 |
2 5 6 10 18 21 12 22 23 26 28 29 31
|
dimpropd |
|- ( ( G e. LVec /\ N e. V ) -> ( dim ` G ) = ( dim ` T ) ) |