Theorem trcoss

Description: Sufficient condition for the transitivity of cosets by R . (Contributed by Peter Mazsa, 26-Dec-2018)

	Ref	Expression
Assertion	trcoss	|- ( A. y E* u u R y -> A. x A. y A. z ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) -> x ,~ R z ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moantr	|- ( E* u u R y -> ( ( E. u ( u R x /\ u R y ) /\ E. u ( u R y /\ u R z ) ) -> E. u ( u R x /\ u R z ) ) )
2		brcoss	|- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> ( x ,~ R y <-> E. u ( u R x /\ u R y ) ) )
3	2	el2v	|- ( x ,~ R y <-> E. u ( u R x /\ u R y ) )
4		brcoss	|- ( ( y e. _V /\ z e. _V ) -> ( y ,~ R z <-> E. u ( u R y /\ u R z ) ) )
5	4	el2v	|- ( y ,~ R z <-> E. u ( u R y /\ u R z ) )
6	3 5	anbi12i	|- ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) <-> ( E. u ( u R x /\ u R y ) /\ E. u ( u R y /\ u R z ) ) )
7		brcoss	|- ( ( x e. _V /\ z e. _V ) -> ( x ,~ R z <-> E. u ( u R x /\ u R z ) ) )
8	7	el2v	|- ( x ,~ R z <-> E. u ( u R x /\ u R z ) )
9	1 6 8	3imtr4g	|- ( E* u u R y -> ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) -> x ,~ R z ) )
10	9	alrimiv	|- ( E* u u R y -> A. z ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) -> x ,~ R z ) )
11	10	alimi	|- ( A. y E* u u R y -> A. y A. z ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) -> x ,~ R z ) )
12	11	alrimiv	|- ( A. y E* u u R y -> A. x A. y A. z ( ( x ,~ R y /\ y ,~ R z ) -> x ,~ R z ) )