Theorem trfil1

Description: Conditions for the trace of a filter L to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015)

	Ref	Expression
Assertion	trfil1	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A = U. ( L |`t A ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqin2	|- ( A C_ Y <-> ( Y i^i A ) = A )
2	1	bilani	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( Y i^i A ) = A )
3		simpl	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) )
4		id	|- ( A C_ Y -> A C_ Y )
5		filtop	|- ( L e. ( Fil ` Y ) -> Y e. L )
6		ssexg	|- ( ( A C_ Y /\ Y e. L ) -> A e. _V )
7	4 5 6	syl2anr	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. _V )
8	5	adantr	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> Y e. L )
9		elrestr	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A e. _V /\ Y e. L ) -> ( Y i^i A ) e. ( L |`t A ) )
10	3 7 8 9	syl3anc	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> ( Y i^i A ) e. ( L |`t A ) )
11	2 10	eqeltrrd	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A e. ( L |`t A ) )
12		elssuni	|- ( A e. ( L |`t A ) -> A C_ U. ( L |`t A ) )
13	11 12	syl	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A C_ U. ( L |`t A ) )
14		restsspw	|- ( L |`t A ) C_ ~P A
15		sspwuni	|- ( ( L |`t A ) C_ ~P A <-> U. ( L |`t A ) C_ A )
16	14 15	mpbi	|- U. ( L |`t A ) C_ A
17	16	a1i	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> U. ( L |`t A ) C_ A )
18	13 17	eqssd	|- ( ( L e. ( Fil ` Y ) /\ A C_ Y ) -> A = U. ( L |`t A ) )