Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
trlco.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
trlco.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
trlco.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
trlco.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
5 |
|
trlco.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
6 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
7 |
1 6 3
|
lhpexnle |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. p e. ( Atoms ` K ) -. p .<_ W ) |
8 |
7
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> E. p e. ( Atoms ` K ) -. p .<_ W ) |
9 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
10 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p .<_ W ) ) -> F e. T ) |
11 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p .<_ W ) ) -> G e. T ) |
12 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p .<_ W ) ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p .<_ W ) ) |
13 |
|
eqid |
|- ( meet ` K ) = ( meet ` K ) |
14 |
1 2 3 4 5 13 6
|
trlcolem |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p .<_ W ) ) -> ( R ` ( F o. G ) ) .<_ ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) ) |
15 |
9 10 11 12 14
|
syl121anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p .<_ W ) ) -> ( R ` ( F o. G ) ) .<_ ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) ) |
16 |
8 15
|
rexlimddv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( R ` ( F o. G ) ) .<_ ( ( R ` F ) .\/ ( R ` G ) ) ) |