Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
metcn.2 |
|- J = ( MetOpen ` C ) |
2 |
|
metcn.4 |
|- K = ( MetOpen ` D ) |
3 |
|
txmetcnp.4 |
|- L = ( MetOpen ` E ) |
4 |
1
|
mopntopon |
|- ( C e. ( *Met ` X ) -> J e. ( TopOn ` X ) ) |
5 |
2
|
mopntopon |
|- ( D e. ( *Met ` Y ) -> K e. ( TopOn ` Y ) ) |
6 |
|
txtopon |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) ) |
7 |
4 5 6
|
syl2an |
|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) ) |
8 |
7
|
3adant3 |
|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( J tX K ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) ) |
9 |
3
|
mopntopon |
|- ( E e. ( *Met ` Z ) -> L e. ( TopOn ` Z ) ) |
10 |
9
|
3ad2ant3 |
|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> L e. ( TopOn ` Z ) ) |
11 |
|
cncnp |
|- ( ( ( J tX K ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. ( TopOn ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) ) ) |
12 |
8 10 11
|
syl2anc |
|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) ) ) |
13 |
|
fveq2 |
|- ( t = <. x , y >. -> ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) = ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) ) |
14 |
13
|
eleq2d |
|- ( t = <. x , y >. -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) ) ) |
15 |
14
|
ralxp |
|- ( A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> A. x e. X A. y e. Y F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) ) |
16 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> F : ( X X. Y ) --> Z ) |
17 |
1 2 3
|
txmetcnp |
|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) ) |
18 |
17
|
adantlr |
|- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) ) |
19 |
16 18
|
mpbirand |
|- ( ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> ( F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) |
20 |
19
|
2ralbidva |
|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( A. x e. X A. y e. Y F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` <. x , y >. ) <-> A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) |
21 |
15 20
|
syl5bb |
|- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) /\ F : ( X X. Y ) --> Z ) -> ( A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) <-> A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) |
22 |
21
|
pm5.32da |
|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. t e. ( X X. Y ) F e. ( ( ( J tX K ) CnP L ) ` t ) ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) ) |
23 |
12 22
|
bitrd |
|- ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` Y ) /\ E e. ( *Met ` Z ) ) -> ( F e. ( ( J tX K ) Cn L ) <-> ( F : ( X X. Y ) --> Z /\ A. x e. X A. y e. Y A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. X A. v e. Y ( ( ( x C u ) < w /\ ( y D v ) < w ) -> ( ( x F y ) E ( u F v ) ) < z ) ) ) ) |