Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elrnust |
|- ( U e. ( UnifOn ` X ) -> U e. U. ran UnifOn ) |
2 |
1
|
adantr |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> U e. U. ran UnifOn ) |
3 |
|
elrnust |
|- ( V e. ( UnifOn ` Y ) -> V e. U. ran UnifOn ) |
4 |
3
|
adantl |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> V e. U. ran UnifOn ) |
5 |
|
ovex |
|- ( dom U. V ^m dom U. U ) e. _V |
6 |
5
|
rabex |
|- { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } e. _V |
7 |
6
|
a1i |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } e. _V ) |
8 |
|
simpr |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> v = V ) |
9 |
8
|
unieqd |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> U. v = U. V ) |
10 |
9
|
dmeqd |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> dom U. v = dom U. V ) |
11 |
|
simpl |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> u = U ) |
12 |
11
|
unieqd |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> U. u = U. U ) |
13 |
12
|
dmeqd |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> dom U. u = dom U. U ) |
14 |
10 13
|
oveq12d |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> ( dom U. v ^m dom U. u ) = ( dom U. V ^m dom U. U ) ) |
15 |
13
|
raleqdv |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> ( A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) ) |
16 |
13 15
|
raleqbidv |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> ( A. x e. dom U. u A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) ) |
17 |
11 16
|
rexeqbidv |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> ( E. r e. u A. x e. dom U. u A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) ) |
18 |
8 17
|
raleqbidv |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> ( A. s e. v E. r e. u A. x e. dom U. u A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) ) |
19 |
14 18
|
rabeqbidv |
|- ( ( u = U /\ v = V ) -> { f e. ( dom U. v ^m dom U. u ) | A. s e. v E. r e. u A. x e. dom U. u A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } = { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } ) |
20 |
|
df-ucn |
|- uCn = ( u e. U. ran UnifOn , v e. U. ran UnifOn |-> { f e. ( dom U. v ^m dom U. u ) | A. s e. v E. r e. u A. x e. dom U. u A. y e. dom U. u ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } ) |
21 |
19 20
|
ovmpoga |
|- ( ( U e. U. ran UnifOn /\ V e. U. ran UnifOn /\ { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } e. _V ) -> ( U uCn V ) = { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } ) |
22 |
2 4 7 21
|
syl3anc |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> ( U uCn V ) = { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } ) |
23 |
|
ustbas2 |
|- ( V e. ( UnifOn ` Y ) -> Y = dom U. V ) |
24 |
|
ustbas2 |
|- ( U e. ( UnifOn ` X ) -> X = dom U. U ) |
25 |
23 24
|
oveqan12rd |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> ( Y ^m X ) = ( dom U. V ^m dom U. U ) ) |
26 |
24
|
adantr |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> X = dom U. U ) |
27 |
26
|
raleqdv |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> ( A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) ) |
28 |
26 27
|
raleqbidv |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) ) |
29 |
28
|
rexbidv |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> ( E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) ) |
30 |
29
|
ralbidv |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> ( A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) <-> A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) ) ) |
31 |
25 30
|
rabeqbidv |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> { f e. ( Y ^m X ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } = { f e. ( dom U. V ^m dom U. U ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. dom U. U A. y e. dom U. U ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } ) |
32 |
22 31
|
eqtr4d |
|- ( ( U e. ( UnifOn ` X ) /\ V e. ( UnifOn ` Y ) ) -> ( U uCn V ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. s e. V E. r e. U A. x e. X A. y e. X ( x r y -> ( f ` x ) s ( f ` y ) ) } ) |