Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eluz2 |
|- ( L e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) ) |
2 |
|
eluz2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` L ) <-> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) |
3 |
|
simpr |
|- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ ) |
4 |
|
simpr |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> N e. ZZ ) |
6 |
|
zsubcl |
|- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ ) |
7 |
6
|
adantlr |
|- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ ) |
8 |
5 7
|
zsubcld |
|- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) |
9 |
3 5 8
|
3jca |
|- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M e. ZZ ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) |
10 |
9
|
ex |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) ) |
11 |
10
|
3adant3 |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) ) |
12 |
11
|
com12 |
|- ( M e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) ) |
13 |
12
|
adantr |
|- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) ) |
14 |
13
|
imp |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) ) |
15 |
|
zre |
|- ( N e. ZZ -> N e. RR ) |
16 |
15
|
adantl |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> N e. RR ) |
18 |
|
zre |
|- ( L e. ZZ -> L e. RR ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> L e. RR ) |
20 |
19
|
adantr |
|- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> L e. RR ) |
21 |
17 20
|
subge0d |
|- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M e. ZZ /\ M <_ L ) ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) ) |
22 |
21
|
exbiri |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( L <_ N -> 0 <_ ( N - L ) ) ) ) |
23 |
22
|
com23 |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> 0 <_ ( N - L ) ) ) ) |
24 |
23
|
3impia |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> 0 <_ ( N - L ) ) ) |
25 |
24
|
impcom |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> 0 <_ ( N - L ) ) |
26 |
|
zre |
|- ( M e. ZZ -> M e. RR ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> M e. RR ) |
28 |
27
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M e. RR ) |
29 |
|
resubcl |
|- ( ( N e. RR /\ L e. RR ) -> ( N - L ) e. RR ) |
30 |
15 18 29
|
syl2anr |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. RR ) |
31 |
30
|
3adant3 |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. RR ) |
32 |
31
|
adantl |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - L ) e. RR ) |
33 |
28 32
|
addge02d |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> M <_ ( ( N - L ) + M ) ) ) |
34 |
25 33
|
mpbid |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M <_ ( ( N - L ) + M ) ) |
35 |
|
zcn |
|- ( N e. ZZ -> N e. CC ) |
36 |
35
|
3ad2ant2 |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> N e. CC ) |
37 |
36
|
adantl |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> N e. CC ) |
38 |
|
zcn |
|- ( L e. ZZ -> L e. CC ) |
39 |
38
|
3ad2ant1 |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> L e. CC ) |
40 |
39
|
adantl |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> L e. CC ) |
41 |
|
zcn |
|- ( M e. ZZ -> M e. CC ) |
42 |
41
|
adantr |
|- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> M e. CC ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M e. CC ) |
44 |
37 40 43
|
subsubd |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) = ( ( N - L ) + M ) ) |
45 |
34 44
|
breqtrrd |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> M <_ ( N - ( L - M ) ) ) |
46 |
18
|
3ad2ant1 |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> L e. RR ) |
47 |
|
subge0 |
|- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> M <_ L ) ) |
48 |
46 26 47
|
syl2anr |
|- ( ( M e. ZZ /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> M <_ L ) ) |
49 |
48
|
exbiri |
|- ( M e. ZZ -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( M <_ L -> 0 <_ ( L - M ) ) ) ) |
50 |
49
|
com23 |
|- ( M e. ZZ -> ( M <_ L -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> 0 <_ ( L - M ) ) ) ) |
51 |
50
|
imp31 |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> 0 <_ ( L - M ) ) |
52 |
15
|
3ad2ant2 |
|- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> N e. RR ) |
53 |
52
|
adantl |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> N e. RR ) |
54 |
|
resubcl |
|- ( ( L e. RR /\ M e. RR ) -> ( L - M ) e. RR ) |
55 |
46 27 54
|
syl2anr |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( L - M ) e. RR ) |
56 |
53 55
|
subge02d |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( 0 <_ ( L - M ) <-> ( N - ( L - M ) ) <_ N ) ) |
57 |
51 56
|
mpbid |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) <_ N ) |
58 |
45 57
|
jca |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( M <_ ( N - ( L - M ) ) /\ ( N - ( L - M ) ) <_ N ) ) |
59 |
|
elfz2 |
|- ( ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( N - ( L - M ) ) e. ZZ ) /\ ( M <_ ( N - ( L - M ) ) /\ ( N - ( L - M ) ) <_ N ) ) ) |
60 |
14 58 59
|
sylanbrc |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) /\ ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) |
61 |
60
|
ex |
|- ( ( M e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) ) |
62 |
61
|
3adant2 |
|- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ L <_ N ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) ) |
63 |
2 62
|
syl5bi |
|- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M <_ L ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) ) |
64 |
1 63
|
sylbi |
|- ( L e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N e. ( ZZ>= ` L ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) ) |
65 |
64
|
imp |
|- ( ( L e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` L ) ) -> ( N - ( L - M ) ) e. ( M ... N ) ) |