Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ax-ac |
|- E. x A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) ) |
2 |
|
equequ2 |
|- ( v = w -> ( u = v <-> u = w ) ) |
3 |
2
|
bibi2d |
|- ( v = w -> ( ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) <-> ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = w ) ) ) |
4 |
|
elequ2 |
|- ( t = w -> ( z e. t <-> z e. w ) ) |
5 |
4
|
anbi2d |
|- ( t = w -> ( ( u e. z /\ z e. t ) <-> ( u e. z /\ z e. w ) ) ) |
6 |
|
elequ2 |
|- ( t = w -> ( u e. t <-> u e. w ) ) |
7 |
|
elequ1 |
|- ( t = w -> ( t e. x <-> w e. x ) ) |
8 |
6 7
|
anbi12d |
|- ( t = w -> ( ( u e. t /\ t e. x ) <-> ( u e. w /\ w e. x ) ) ) |
9 |
5 8
|
anbi12d |
|- ( t = w -> ( ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) ) ) |
10 |
9
|
cbvexvw |
|- ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) ) |
11 |
10
|
bibi1i |
|- ( ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = w ) <-> ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> u = w ) ) |
12 |
3 11
|
bitrdi |
|- ( v = w -> ( ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) <-> ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> u = w ) ) ) |
13 |
12
|
albidv |
|- ( v = w -> ( A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) <-> A. u ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> u = w ) ) ) |
14 |
|
elequ1 |
|- ( u = y -> ( u e. z <-> y e. z ) ) |
15 |
14
|
anbi1d |
|- ( u = y -> ( ( u e. z /\ z e. w ) <-> ( y e. z /\ z e. w ) ) ) |
16 |
|
elequ1 |
|- ( u = y -> ( u e. w <-> y e. w ) ) |
17 |
16
|
anbi1d |
|- ( u = y -> ( ( u e. w /\ w e. x ) <-> ( y e. w /\ w e. x ) ) ) |
18 |
15 17
|
anbi12d |
|- ( u = y -> ( ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) ) ) |
19 |
18
|
exbidv |
|- ( u = y -> ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) ) ) |
20 |
|
equequ1 |
|- ( u = y -> ( u = w <-> y = w ) ) |
21 |
19 20
|
bibi12d |
|- ( u = y -> ( ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> u = w ) <-> ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) |
22 |
21
|
cbvalvw |
|- ( A. u ( E. w ( ( u e. z /\ z e. w ) /\ ( u e. w /\ w e. x ) ) <-> u = w ) <-> A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) |
23 |
13 22
|
bitrdi |
|- ( v = w -> ( A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) <-> A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) |
24 |
23
|
cbvexvw |
|- ( E. v A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) <-> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) |
25 |
24
|
imbi2i |
|- ( ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) ) <-> ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) |
26 |
25
|
2albii |
|- ( A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) ) <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) |
27 |
26
|
exbii |
|- ( E. x A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. z /\ z e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. x ) ) <-> u = v ) ) <-> E. x A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) |
28 |
1 27
|
mpbi |
|- E. x A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) |