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Theorem cmt4N

Description: Commutation with orthocomplement. Remark in Kalmbach p. 23. ( cmcm4i analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cmt2.b B = Base K
cmt2.o ˙ = oc K
cmt2.c C = cm K
Assertion cmt4N K OML X B Y B X C Y ˙ X C ˙ Y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cmt2.b B = Base K
2 cmt2.o ˙ = oc K
3 cmt2.c C = cm K
4 1 2 3 cmt2N K OML X B Y B X C Y X C ˙ Y
5 omlop K OML K OP
6 5 3ad2ant1 K OML X B Y B K OP
7 simp3 K OML X B Y B Y B
8 1 2 opoccl K OP Y B ˙ Y B
9 6 7 8 syl2anc K OML X B Y B ˙ Y B
10 1 2 3 cmt3N K OML X B ˙ Y B X C ˙ Y ˙ X C ˙ Y
11 9 10 syld3an3 K OML X B Y B X C ˙ Y ˙ X C ˙ Y
12 4 11 bitrd K OML X B Y B X C Y ˙ X C ˙ Y