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Theorem cmt4N

Description: Commutation with orthocomplement. Remark in Kalmbach p. 23. ( cmcm4i analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cmt2.b
|- B = ( Base ` K )
cmt2.o
|- ._|_ = ( oc ` K )
cmt2.c
|- C = ( cm ` K )
Assertion cmt4N
|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cmt2.b
 |-  B = ( Base ` K )
2 cmt2.o
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
3 cmt2.c
 |-  C = ( cm ` K )
4 1 2 3 cmt2N
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> X C ( ._|_ ` Y ) ) )
5 omlop
 |-  ( K e. OML -> K e. OP )
6 5 3ad2ant1
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )
7 simp3
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
8 1 2 opoccl
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
9 6 7 8 syl2anc
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
10 1 2 3 cmt3N
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( X C ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )
11 9 10 syld3an3
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )
12 4 11 bitrd
 |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )