Theorem cmt3N

Description: Commutation with orthocomplement. Remark in Kalmbach p. 23. ( cmcm4i analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	cmt2.b	|- B = ( Base ` K )
	cmt2.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
	cmt2.c	|- C = ( cm ` K )
Assertion	cmt3N	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C Y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmt2.b	|- B = ( Base ` K )
2		cmt2.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
3		cmt2.c	|- C = ( cm ` K )
4	1 2 3	cmt2N	|- ( ( K e. OML /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y C X <-> Y C ( ._|_ ` X ) ) )
5	4	3com23	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y C X <-> Y C ( ._|_ ` X ) ) )
6	1 3	cmtcomN	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> Y C X ) )
7		omlop	|- ( K e. OML -> K e. OP )
8	7	3ad2ant1	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )
9		simp2	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
10	1 2	opoccl	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
11	8 9 10	syl2anc	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
12	1 3	cmtcomN	|- ( ( K e. OML /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) C Y <-> Y C ( ._|_ ` X ) ) )
13	11 12	syld3an2	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) C Y <-> Y C ( ._|_ ` X ) ) )
14	5 6 13	3bitr4d	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C Y ) )