Metamath Proof Explorer

Theorem cmtbr2N

Description: Alternate definition of the commutes relation. Remark in Kalmbach p. 23. ( cmbr2i analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cmtbr2.b
`|- B = ( Base ` K )`
cmtbr2.j
`|- .\/ = ( join ` K )`
cmtbr2.m
`|- ./\ = ( meet ` K )`
cmtbr2.o
`|- ._|_ = ( oc ` K )`
cmtbr2.c
`|- C = ( cm ` K )`
Assertion cmtbr2N
`|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> X = ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) )`

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cmtbr2.b
` |-  B = ( Base ` K )`
2 cmtbr2.j
` |-  .\/ = ( join ` K )`
3 cmtbr2.m
` |-  ./\ = ( meet ` K )`
4 cmtbr2.o
` |-  ._|_ = ( oc ` K )`
5 cmtbr2.c
` |-  C = ( cm ` K )`
6 1 4 5 cmt4N
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )`
7 simp1
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OML )`
8 omlop
` |-  ( K e. OML -> K e. OP )`
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )`
10 simp2
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )`
11 1 4 opoccl
` |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )`
12 9 10 11 syl2anc
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )`
13 simp3
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )`
14 1 4 opoccl
` |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )`
15 9 13 14 syl2anc
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )`
16 1 2 3 4 5 cmtvalN
` |-  ( ( K e. OML /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` X ) = ( ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) .\/ ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) ) ) )`
17 7 12 15 16 syl3anc
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` X ) = ( ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) .\/ ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) ) ) )`
18 eqcom
` |-  ( X = ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) <-> ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = X )`
19 18 a1i
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X = ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) <-> ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = X ) )`
20 omllat
` |-  ( K e. OML -> K e. Lat )`
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Lat )`
22 1 2 latjcl
` |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )`
23 20 22 syl3an1
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B )`
24 1 2 latjcl
` |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) e. B )`
25 21 10 15 24 syl3anc
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) e. B )`
26 1 3 latmcl
` |-  ( ( K e. Lat /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) e. B ) -> ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) e. B )`
27 21 23 25 26 syl3anc
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) e. B )`
28 1 4 opcon3b
` |-  ( ( K e. OP /\ ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = X <-> ( ._|_ ` X ) = ( ._|_ ` ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) ) )`
29 9 27 10 28 syl3anc
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = X <-> ( ._|_ ` X ) = ( ._|_ ` ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) ) )`
30 omlol
` |-  ( K e. OML -> K e. OL )`
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OL )`
32 1 2 3 4 oldmm1
` |-  ( ( K e. OL /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) = ( ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) .\/ ( ._|_ ` ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) )`
33 31 23 25 32 syl3anc
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) = ( ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) .\/ ( ._|_ ` ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) )`
34 1 2 3 4 oldmj1
` |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )`
35 30 34 syl3an1
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )`
36 1 2 3 4 oldmj1
` |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( ._|_ ` ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )`
37 31 10 15 36 syl3anc
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )`
38 35 37 oveq12d
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) .\/ ( ._|_ ` ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) = ( ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) .\/ ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) ) )`
39 33 38 eqtrd
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) = ( ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) .\/ ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) ) )`
40 39 eqeq2d
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) = ( ._|_ ` ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) <-> ( ._|_ ` X ) = ( ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) .\/ ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) ) ) )`
41 19 29 40 3bitrrd
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) = ( ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) .\/ ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) ) <-> X = ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) )`
42 6 17 41 3bitrd
` |-  ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> X = ( ( X .\/ Y ) ./\ ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) )`