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SUPPLEMENTARY MATERIAL (USERS' MATHBOXES)
Mathbox for Peter Mazsa
Cosets by ` R `
coss0
Next ⟩
cossid
Metamath Proof Explorer
Ascii
Unicode
Theorem
coss0
Description:
Cosets by the empty set are the empty set.
(Contributed by
Peter Mazsa
, 22-Oct-2019)
Ref
Expression
Assertion
coss0
⊢
≀
∅
=
∅
Proof
Step
Hyp
Ref
Expression
1
dfcoss2
⊢
≀
∅
=
y
z
|
∃
x
y
∈
x
∅
∧
z
∈
x
∅
2
ec0
⊢
x
∅
=
∅
3
2
eleq2i
⊢
y
∈
x
∅
↔
y
∈
∅
4
2
eleq2i
⊢
z
∈
x
∅
↔
z
∈
∅
5
3
4
anbi12i
⊢
y
∈
x
∅
∧
z
∈
x
∅
↔
y
∈
∅
∧
z
∈
∅
6
5
exbii
⊢
∃
x
y
∈
x
∅
∧
z
∈
x
∅
↔
∃
x
y
∈
∅
∧
z
∈
∅
7
19.9v
⊢
∃
x
y
∈
∅
∧
z
∈
∅
↔
y
∈
∅
∧
z
∈
∅
8
6
7
bitri
⊢
∃
x
y
∈
x
∅
∧
z
∈
x
∅
↔
y
∈
∅
∧
z
∈
∅
9
8
opabbii
⊢
y
z
|
∃
x
y
∈
x
∅
∧
z
∈
x
∅
=
y
z
|
y
∈
∅
∧
z
∈
∅
10
prnzg
⊢
y
∈
V
→
y
z
≠
∅
11
10
elv
⊢
y
z
≠
∅
12
ss0b
⊢
y
z
⊆
∅
↔
y
z
=
∅
13
11
12
nemtbir
⊢
¬
y
z
⊆
∅
14
prssg
⊢
y
∈
V
∧
z
∈
V
→
y
∈
∅
∧
z
∈
∅
↔
y
z
⊆
∅
15
14
el2v
⊢
y
∈
∅
∧
z
∈
∅
↔
y
z
⊆
∅
16
13
15
mtbir
⊢
¬
y
∈
∅
∧
z
∈
∅
17
16
opabf
⊢
y
z
|
y
∈
∅
∧
z
∈
∅
=
∅
18
1
9
17
3eqtri
⊢
≀
∅
=
∅