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Theorem coss0

Description: Cosets by the empty set are the empty set. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Oct-2019)

Ref Expression
Assertion coss0 =

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dfcoss2 = y z | x y x z x
2 ec0 x =
3 2 eleq2i y x y
4 2 eleq2i z x z
5 3 4 anbi12i y x z x y z
6 5 exbii x y x z x x y z
7 19.9v x y z y z
8 6 7 bitri x y x z x y z
9 8 opabbii y z | x y x z x = y z | y z
10 prnzg y V y z
11 10 elv y z
12 ss0b y z y z =
13 11 12 nemtbir ¬ y z
14 prssg y V z V y z y z
15 14 el2v y z y z
16 13 15 mtbir ¬ y z
17 16 opabf y z | y z =
18 1 9 17 3eqtri =