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Theorem csbwrecsg

Description: Move class substitution in and out of the well-founded recursive function generator. (Contributed by ML, 25-Oct-2020)

Ref Expression
Assertion csbwrecsg A V A / x wrecs R D F = wrecs A / x R A / x D A / x F

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 csbuni A / x f | z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y = A / x f | z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y
2 csbab A / x f | z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y = f | [˙A / x]˙ z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y
3 sbcex2 [˙A / x]˙ z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y z [˙A / x]˙ f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y
4 sbc3an [˙A / x]˙ f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y [˙A / x]˙ f Fn z [˙A / x]˙ z D y z Pred R D y z [˙A / x]˙ y z f y = F f Pred R D y
5 sbcg A V [˙A / x]˙ f Fn z f Fn z
6 sbcan [˙A / x]˙ z D y z Pred R D y z [˙A / x]˙ z D [˙A / x]˙ y z Pred R D y z
7 sbcssg A V [˙A / x]˙ z D A / x z A / x D
8 csbconstg A V A / x z = z
9 8 sseq1d A V A / x z A / x D z A / x D
10 7 9 bitrd A V [˙A / x]˙ z D z A / x D
11 sbcralg A V [˙A / x]˙ y z Pred R D y z y z [˙A / x]˙ Pred R D y z
12 sbcssg A V [˙A / x]˙ Pred R D y z A / x Pred R D y A / x z
13 8 sseq2d A V A / x Pred R D y A / x z A / x Pred R D y z
14 csbpredg A V A / x Pred R D y = Pred A / x R A / x D A / x y
15 csbconstg A V A / x y = y
16 predeq3 A / x y = y Pred A / x R A / x D A / x y = Pred A / x R A / x D y
17 15 16 syl A V Pred A / x R A / x D A / x y = Pred A / x R A / x D y
18 14 17 eqtrd A V A / x Pred R D y = Pred A / x R A / x D y
19 18 sseq1d A V A / x Pred R D y z Pred A / x R A / x D y z
20 12 13 19 3bitrd A V [˙A / x]˙ Pred R D y z Pred A / x R A / x D y z
21 20 ralbidv A V y z [˙A / x]˙ Pred R D y z y z Pred A / x R A / x D y z
22 11 21 bitrd A V [˙A / x]˙ y z Pred R D y z y z Pred A / x R A / x D y z
23 10 22 anbi12d A V [˙A / x]˙ z D [˙A / x]˙ y z Pred R D y z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z
24 6 23 syl5bb A V [˙A / x]˙ z D y z Pred R D y z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z
25 sbcralg A V [˙A / x]˙ y z f y = F f Pred R D y y z [˙A / x]˙ f y = F f Pred R D y
26 sbceqg A V [˙A / x]˙ f y = F f Pred R D y A / x f y = A / x F f Pred R D y
27 csbconstg A V A / x f y = f y
28 csbfv12 A / x F f Pred R D y = A / x F A / x f Pred R D y
29 csbres A / x f Pred R D y = A / x f A / x Pred R D y
30 csbconstg A V A / x f = f
31 30 18 reseq12d A V A / x f A / x Pred R D y = f Pred A / x R A / x D y
32 29 31 syl5eq A V A / x f Pred R D y = f Pred A / x R A / x D y
33 32 fveq2d A V A / x F A / x f Pred R D y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
34 28 33 syl5eq A V A / x F f Pred R D y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
35 27 34 eqeq12d A V A / x f y = A / x F f Pred R D y f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
36 26 35 bitrd A V [˙A / x]˙ f y = F f Pred R D y f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
37 36 ralbidv A V y z [˙A / x]˙ f y = F f Pred R D y y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
38 25 37 bitrd A V [˙A / x]˙ y z f y = F f Pred R D y y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
39 5 24 38 3anbi123d A V [˙A / x]˙ f Fn z [˙A / x]˙ z D y z Pred R D y z [˙A / x]˙ y z f y = F f Pred R D y f Fn z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
40 4 39 syl5bb A V [˙A / x]˙ f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y f Fn z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
41 40 exbidv A V z [˙A / x]˙ f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y z f Fn z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
42 3 41 syl5bb A V [˙A / x]˙ z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y z f Fn z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
43 42 abbidv A V f | [˙A / x]˙ z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y = f | z f Fn z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
44 2 43 syl5eq A V A / x f | z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y = f | z f Fn z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
45 44 unieqd A V A / x f | z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y = f | z f Fn z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
46 1 45 syl5eq A V A / x f | z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y = f | z f Fn z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
47 df-wrecs wrecs R D F = f | z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y
48 47 csbeq2i A / x wrecs R D F = A / x f | z f Fn z z D y z Pred R D y z y z f y = F f Pred R D y
49 df-wrecs wrecs A / x R A / x D A / x F = f | z f Fn z z A / x D y z Pred A / x R A / x D y z y z f y = A / x F f Pred A / x R A / x D y
50 46 48 49 3eqtr4g A V A / x wrecs R D F = wrecs A / x R A / x D A / x F