Metamath Proof Explorer


Theorem dihjatc2N

Description: Isomorphism H of join with an atom. (Contributed by NM, 26-Aug-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dihjatc1.b B = Base K
dihjatc1.l ˙ = K
dihjatc1.h H = LHyp K
dihjatc1.j ˙ = join K
dihjatc1.m ˙ = meet K
dihjatc1.a A = Atoms K
dihjatc1.u U = DVecH K W
dihjatc1.s ˙ = LSSum U
dihjatc1.i I = DIsoH K W
Assertion dihjatc2N K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W I Q ˙ X ˙ Y = I Q ˙ I X ˙ Y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihjatc1.b B = Base K
2 dihjatc1.l ˙ = K
3 dihjatc1.h H = LHyp K
4 dihjatc1.j ˙ = join K
5 dihjatc1.m ˙ = meet K
6 dihjatc1.a A = Atoms K
7 dihjatc1.u U = DVecH K W
8 dihjatc1.s ˙ = LSSum U
9 dihjatc1.i I = DIsoH K W
10 simp11l K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W K HL
11 10 hllatd K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W K Lat
12 simp2l K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W Q A
13 1 6 atbase Q A Q B
14 12 13 syl K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W Q B
15 simp12 K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W X B
16 simp13 K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W Y B
17 1 5 latmcl K Lat X B Y B X ˙ Y B
18 11 15 16 17 syl3anc K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W X ˙ Y B
19 1 4 latjcom K Lat Q B X ˙ Y B Q ˙ X ˙ Y = X ˙ Y ˙ Q
20 11 14 18 19 syl3anc K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W Q ˙ X ˙ Y = X ˙ Y ˙ Q
21 20 fveq2d K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W I Q ˙ X ˙ Y = I X ˙ Y ˙ Q
22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 dihjatc1 K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W I X ˙ Y ˙ Q = I Q ˙ I X ˙ Y
23 21 22 eqtrd K HL W H X B Y B Q A ¬ Q ˙ W Q ˙ X X ˙ Y ˙ W I Q ˙ X ˙ Y = I Q ˙ I X ˙ Y