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Theorem snifpsrbag

Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015) (Revised by AV, 8-Jul-2019)

Ref Expression
Hypothesis psrbag.d D = f 0 I | f -1 Fin
Assertion snifpsrbag I V N 0 y I if y = X N 0 D

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psrbag.d D = f 0 I | f -1 Fin
2 simpr I V N 0 N 0
3 0nn0 0 0
4 3 a1i I V N 0 0 0
5 2 4 ifcld I V N 0 if y = X N 0 0
6 5 adantr I V N 0 y I if y = X N 0 0
7 6 fmpttd I V N 0 y I if y = X N 0 : I 0
8 id I V I V
9 c0ex 0 V
10 9 a1i I V 0 V
11 eqid y I if y = X N 0 = y I if y = X N 0
12 8 10 11 sniffsupp I V finSupp 0 y I if y = X N 0
13 12 adantr I V N 0 finSupp 0 y I if y = X N 0
14 frnnn0fsupp I V y I if y = X N 0 : I 0 finSupp 0 y I if y = X N 0 y I if y = X N 0 -1 Fin
15 14 adantlr I V N 0 y I if y = X N 0 : I 0 finSupp 0 y I if y = X N 0 y I if y = X N 0 -1 Fin
16 15 bicomd I V N 0 y I if y = X N 0 : I 0 y I if y = X N 0 -1 Fin finSupp 0 y I if y = X N 0
17 7 16 mpdan I V N 0 y I if y = X N 0 -1 Fin finSupp 0 y I if y = X N 0
18 13 17 mpbird I V N 0 y I if y = X N 0 -1 Fin
19 1 psrbag I V y I if y = X N 0 D y I if y = X N 0 : I 0 y I if y = X N 0 -1 Fin
20 19 adantr I V N 0 y I if y = X N 0 D y I if y = X N 0 : I 0 y I if y = X N 0 -1 Fin
21 7 18 20 mpbir2and I V N 0 y I if y = X N 0 D