Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
4at.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
4at.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
4at.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) |
5 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) |
6 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ) |
7 |
|
simpl21 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
8 |
|
simpl23 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑉 ∈ 𝐴 ) |
9 |
|
simpl31 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐴 ) |
10 |
|
simpl32 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) |
11 |
1 2 3
|
4atlem10a |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
12 |
6 7 8 9 10 11
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
13 |
5 12
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) |
14 |
4 13
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) ) |
15 |
|
simpl22 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
16 |
|
simpl33 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
17 |
1 2 3
|
4atlem9 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
18 |
6 7 15 9 16 17
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
19 |
14 18
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) ) |
20 |
19 13
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∧ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) |