Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
4at.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
4at.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
4at.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
1 2 3
|
4atlem12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
5 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
6 |
5
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
7 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 ) |
8 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
10 |
9 2 3
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
11 |
5 7 8 10
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
12 |
|
simp32 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐴 ) |
13 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐴 ) |
14 |
9 2 3
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
15 |
5 12 13 14
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
16 |
9 2
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
17 |
6 11 15 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
18 |
9 1
|
latref |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) |
19 |
6 17 18
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) |
20 |
|
breq1 |
⊢ ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
21 |
19 20
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
22 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
23 |
4 22
|
impbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ≤ ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) = ( ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) |