Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
4at.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
4at.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
4at.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
5 |
|
simp21 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
6 |
|
simp22 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐴 ) |
7 |
4
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
8 |
|
simp1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
10 |
9 2 3
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
11 |
8 10
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
12 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐴 ) |
13 |
9 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐴 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
15 |
9 2
|
latjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
16 |
7 11 14 15
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
17 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) |
18 |
9 1 2 3
|
hlexchb2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
19 |
4 5 6 16 17 18
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
20 |
1 2 3
|
4atlem4c |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) |
21 |
8 6 12 20
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) |
22 |
21
|
breq2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ 𝑅 ≤ ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
23 |
1 2 3
|
4atlem4c |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) |
24 |
8 5 12 23
|
syl12anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) |
25 |
24 21
|
eqeq12d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) ) |
26 |
19 22 25
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) ) |