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Theorem 4atlem10a

Description: Lemma for 4at . Substitute V for R . (Contributed by NM, 9-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses 4at.l = ( le ‘ 𝐾 )
4at.j = ( join ‘ 𝐾 )
4at.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 4atlem10a ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑉 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑉 𝑊 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 4at.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 4at.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 4at.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simp11 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
5 simp21 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → 𝑅𝐴 )
6 simp22 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → 𝑉𝐴 )
7 4 hllatd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
8 simp1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) )
9 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
10 9 2 3 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) → ( 𝑃 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
11 8 10 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( 𝑃 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 simp23 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → 𝑊𝐴 )
13 9 3 atbase ( 𝑊𝐴𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
14 12 13 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 9 2 latjcl ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 7 11 14 15 syl3anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 simp3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) )
18 9 1 2 3 hlexchb2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴 ∧ ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ( 𝑉 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) ) )
19 4 5 6 16 17 18 syl131anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ( 𝑉 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) ) )
20 1 2 3 4atlem4c ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑉 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) )
21 8 6 12 20 syl12anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑉 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) )
22 21 breq2d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑉 𝑊 ) ) ↔ 𝑅 ( 𝑉 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) ) )
23 1 2 3 4atlem4c ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑊𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑊 ) ) = ( 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) )
24 8 5 12 23 syl12anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑊 ) ) = ( 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) )
25 24 21 eqeq12d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑉 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) ) )
26 19 22 25 3bitr4d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑉 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑅 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑉 𝑊 ) ) ) )