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Theorem ackbij1lem11

Description: Lemma for ackbij1 . (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014)

Ref Expression
Hypothesis ackbij.f 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ↦ ( card ‘ 𝑦𝑥 ( { 𝑦 } × 𝒫 𝑦 ) ) )
Assertion ackbij1lem11 ( ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ∧ 𝐵𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ackbij.f 𝐹 = ( 𝑥 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ↦ ( card ‘ 𝑦𝑥 ( { 𝑦 } × 𝒫 𝑦 ) ) )
2 ssexg ( ( 𝐵𝐴𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ) → 𝐵 ∈ V )
3 elinel1 ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω )
4 3 elpwid ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) → 𝐴 ⊆ ω )
5 sstr ( ( 𝐵𝐴𝐴 ⊆ ω ) → 𝐵 ⊆ ω )
6 4 5 sylan2 ( ( 𝐵𝐴𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ) → 𝐵 ⊆ ω )
7 2 6 elpwd ( ( 𝐵𝐴𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω )
8 7 ancoms ( ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ∧ 𝐵𝐴 ) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω )
9 elinel2 ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) → 𝐴 ∈ Fin )
10 ssfi ( ( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴 ) → 𝐵 ∈ Fin )
11 9 10 sylan ( ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ∧ 𝐵𝐴 ) → 𝐵 ∈ Fin )
12 8 11 elind ( ( 𝐴 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) ∧ 𝐵𝐴 ) → 𝐵 ∈ ( 𝒫 ω ∩ Fin ) )