Theorem ackval41

Description: The Ackermann function at (4,1). (Contributed by AV, 9-May-2024)

	Ref	Expression
Assertion	ackval41	⊢ ( ( Ack ‘ 4 ) ‘ 1 ) = ; ; ; ; 6 5 5 3 3

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackval41a	⊢ ( ( Ack ‘ 4 ) ‘ 1 ) = ( ( 2 ↑ ; 1 6 ) − 3 )
2		6nn0	⊢ 6 ∈ ℕ0
3		5nn0	⊢ 5 ∈ ℕ0
4	2 3	deccl	⊢ ; 6 5 ∈ ℕ0
5	4 3	deccl	⊢ ; ; 6 5 5 ∈ ℕ0
6		3nn0	⊢ 3 ∈ ℕ0
7	5 6	deccl	⊢ ; ; ; 6 5 5 3 ∈ ℕ0
8		2exp16	⊢ ( 2 ↑ ; 1 6 ) = ; ; ; ; 6 5 5 3 6
9		3p1e4	⊢ ( 3 + 1 ) = 4
10		eqid	⊢ ; ; ; 6 5 5 3 = ; ; ; 6 5 5 3
11	5 6 9 10	decsuc	⊢ ( ; ; ; 6 5 5 3 + 1 ) = ; ; ; 6 5 5 4
12		3cn	⊢ 3 ∈ ℂ
13		gbpart6	⊢ 6 = ( 3 + 3 )
14	12 12 13	mvrraddi	⊢ ( 6 − 3 ) = 3
15	7 2 6 8 11 14	decsubi	⊢ ( ( 2 ↑ ; 1 6 ) − 3 ) = ; ; ; ; 6 5 5 3 3
16	1 15	eqtri	⊢ ( ( Ack ‘ 4 ) ‘ 1 ) = ; ; ; ; 6 5 5 3 3