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Theorem bcxmas

Description: Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014)

Ref Expression
Assertion bcxmas ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑀 ) C 𝑀 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bcxmaslem1 ⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑚 ) C 𝑚 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 0 ) C 0 ) )
2 oveq2 ⊢ ( 𝑚 = 0 → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 0 ) )
3 2 sumeq1d ⊢ ( 𝑚 = 0 → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) )
4 1 3 eqeq12d ⊢ ( 𝑚 = 0 → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑚 ) C 𝑚 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ↔ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 0 ) C 0 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ) )
5 bcxmaslem1 ⊢ ( 𝑚 = 𝑘 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑚 ) C 𝑚 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) )
6 oveq2 ⊢ ( 𝑚 = 𝑘 → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 𝑘 ) )
7 6 sumeq1d ⊢ ( 𝑚 = 𝑘 → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) )
8 5 7 eqeq12d ⊢ ( 𝑚 = 𝑘 → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑚 ) C 𝑚 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ↔ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ) )
9 bcxmaslem1 ⊢ ( 𝑚 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑚 ) C 𝑚 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + ( 𝑘 + 1 ) ) C ( 𝑘 + 1 ) ) )
10 oveq2 ⊢ ( 𝑚 = ( 𝑘 + 1 ) → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) )
11 10 sumeq1d ⊢ ( 𝑚 = ( 𝑘 + 1 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) )
12 9 11 eqeq12d ⊢ ( 𝑚 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑚 ) C 𝑚 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ↔ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + ( 𝑘 + 1 ) ) C ( 𝑘 + 1 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ) )
13 bcxmaslem1 ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑚 ) C 𝑚 ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑀 ) C 𝑀 ) )
14 oveq2 ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( 0 ... 𝑚 ) = ( 0 ... 𝑀 ) )
15 14 sumeq1d ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) )
16 13 15 eqeq12d ⊢ ( 𝑚 = 𝑀 → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑚 ) C 𝑚 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑚 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ↔ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑀 ) C 𝑀 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ) )
17 0nn0 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18 nn0addcl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 + 0 ) ∈ ℕ0 )
19 bcn0 ⊢ ( ( 𝑁 + 0 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 0 ) C 0 ) = 1 )
20 18 19 syl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + 0 ) C 0 ) = 1 )
21 17 20 mpan2 ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 0 ) C 0 ) = 1 )
22 0z ⊢ 0 ∈ ℤ
23 1nn0 ⊢ 1 ∈ ℕ0
24 21 23 eqeltrdi ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 0 ) C 0 ) ∈ ℕ0 )
25 24 nn0cnd ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 0 ) C 0 ) ∈ ℂ )
26 bcxmaslem1 ⊢ ( 𝑗 = 0 → ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = ( ( 𝑁 + 0 ) C 0 ) )
27 26 fsum1 ⊢ ( ( 0 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑁 + 0 ) C 0 ) ∈ ℂ ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = ( ( 𝑁 + 0 ) C 0 ) )
28 22 25 27 sylancr ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = ( ( 𝑁 + 0 ) C 0 ) )
29 peano2nn0 ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 )
30 nn0addcl ⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) + 0 ) ∈ ℕ0 )
31 29 17 30 sylancl ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) + 0 ) ∈ ℕ0 )
32 bcn0 ⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 0 ) ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 0 ) C 0 ) = 1 )
33 31 32 syl ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 0 ) C 0 ) = 1 )
34 21 28 33 3eqtr4rd ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 0 ) C 0 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 0 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) )
35 elnn0uz ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
36 35 bilani ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) )
37 simpl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
38 elfznn0 ⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℕ0 )
39 nn0addcl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 + 𝑗 ) ∈ ℕ0 )
40 37 38 39 syl2an ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) ) → ( 𝑁 + 𝑗 ) ∈ ℕ0 )
41 elfzelz ⊢ ( 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
42 41 adantl ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) ) → 𝑗 ∈ ℤ )
43 bccl ⊢ ( ( ( 𝑁 + 𝑗 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ∈ ℕ0 )
44 40 42 43 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ∈ ℕ0 )
45 44 nn0cnd ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) ) → ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ∈ ℂ )
46 bcxmaslem1 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑘 + 1 ) → ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = ( ( 𝑁 + ( 𝑘 + 1 ) ) C ( 𝑘 + 1 ) ) )
47 36 45 46 fsump1 ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) + ( ( 𝑁 + ( 𝑘 + 1 ) ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
48 nn0cn ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ )
49 48 adantr ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℂ )
50 nn0cn ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ )
51 50 adantl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℂ )
52 1cnd ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 1 ∈ ℂ )
53 add32r ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 + ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) )
54 49 51 52 53 syl3anc ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 + ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) )
55 54 oveq1d ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + ( 𝑘 + 1 ) ) C ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) )
56 55 oveq2d ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) + ( ( 𝑁 + ( 𝑘 + 1 ) ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
57 47 56 eqtrd ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
58 57 adantr ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
59 oveq1 ⊢ ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
60 59 adantl ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
61 ax-1cn ⊢ 1 ∈ ℂ
62 pncan ⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) = 𝑘 )
63 51 61 62 sylancl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) = 𝑘 )
64 63 oveq2d ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) )
65 64 oveq2d ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) ) )
66 nn0addcl ⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
67 29 66 sylan ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
68 nn0p1nn ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ )
69 68 adantl ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℕ )
70 69 nnzd ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ )
71 bcpasc ⊢ ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) )
72 67 70 71 syl2anc ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( ( 𝑘 + 1 ) − 1 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) )
73 65 72 eqtr3d ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) )
74 nn0p1nn ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ )
75 nnnn0addcl ⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) ∈ ℕ )
76 74 75 sylan ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) ∈ ℕ )
77 76 nnnn0d ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
78 bccl ⊢ ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑘 + 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℕ0 )
79 77 70 78 syl2anc ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℕ0 )
80 79 nn0cnd ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ∈ ℂ )
81 nn0z ⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ )
82 81 adantl ⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → 𝑘 ∈ ℤ )
83 bccl ⊢ ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
84 66 82 83 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
85 29 84 sylan ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) ∈ ℕ0 )
86 85 nn0cnd ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) ∈ ℂ )
87 80 86 addcomd ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) ) = ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) )
88 peano2cn ⊢ ( 𝑁 ∈ ℂ → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ )
89 48 88 syl ⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ )
90 89 adantr ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℂ )
91 90 51 52 addassd ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) + ( 𝑘 + 1 ) ) )
92 91 oveq1d ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + ( 𝑘 + 1 ) ) C ( 𝑘 + 1 ) ) )
93 73 87 92 3eqtr3d ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + ( 𝑘 + 1 ) ) C ( 𝑘 + 1 ) ) )
94 93 adantr ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) + ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C ( 𝑘 + 1 ) ) ) = ( ( ( 𝑁 + 1 ) + ( 𝑘 + 1 ) ) C ( 𝑘 + 1 ) ) )
95 58 60 94 3eqtr2rd ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) ∧ ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑘 ) C 𝑘 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑘 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + ( 𝑘 + 1 ) ) C ( 𝑘 + 1 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... ( 𝑘 + 1 ) ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) )
96 4 8 12 16 34 95 nn0indd ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( 𝑁 + 1 ) + 𝑀 ) C 𝑀 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ( 𝑁 + 𝑗 ) C 𝑗 ) )