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## Theorem cdlemd9

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 2-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemd4.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemd4.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemd4.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemd4.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemd4.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemd9 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) → ( 𝐹𝑅 ) = ( 𝐺𝑅 ) )

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemd4.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemd4.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemd4.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 cdlemd4.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
5 cdlemd4.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6 simpl1 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) )
7 simpl2 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
8 simpl3 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) )
9 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 )
10 1 2 3 4 5 cdlemd8 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) ) → ( 𝐹𝑅 ) = ( 𝐺𝑅 ) )
11 6 7 8 9 10 syl112anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐹𝑅 ) = ( 𝐺𝑅 ) )
12 simpl11 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
13 simpl2 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
14 simp12l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) → 𝐹𝑇 )
15 14 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) → 𝐹𝑇 )
16 1 3 4 5 ltrnel ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 𝐹𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐹𝑃 ) 𝑊 ) )
17 12 15 13 16 syl3anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) → ( ( 𝐹𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐹𝑃 ) 𝑊 ) )
18 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) → ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 )
19 18 necomd ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) → 𝑃 ≠ ( 𝐹𝑃 ) )
20 1 2 3 4 cdlemb2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐹𝑃 ) 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ ( 𝐹𝑃 ) ) → ∃ 𝑠𝐴 ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) )
21 12 13 17 19 20 syl121anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) → ∃ 𝑠𝐴 ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) )
22 simp1l1 ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑠𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) )
23 simp1l2 ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑠𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
24 simp2 ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑠𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) ) → 𝑠𝐴 )
25 simp3l ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑠𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) ) → ¬ 𝑠 𝑊 )
26 24 25 jca ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑠𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) ) → ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊 ) )
27 simp1l3 ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑠𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) )
28 simp3r ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑠𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) ) → ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) )
29 1 2 3 4 5 cdlemd7 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑅 ) = ( 𝐺𝑅 ) )
30 22 23 26 27 28 29 syl122anc ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ∧ 𝑠𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑅 ) = ( 𝐺𝑅 ) )
31 30 rexlimdv3a ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) → ( ∃ 𝑠𝐴 ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 ( 𝐹𝑃 ) ) ) → ( 𝐹𝑅 ) = ( 𝐺𝑅 ) ) )
32 21 31 mpd ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) ≠ 𝑃 ) → ( 𝐹𝑅 ) = ( 𝐺𝑅 ) )
33 11 32 pm2.61dane ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑃 ) = ( 𝐺𝑃 ) ) → ( 𝐹𝑅 ) = ( 𝐺𝑅 ) )