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## Theorem cdlemd9

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 2-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemd4.l
`|- .<_ = ( le ` K )`
cdlemd4.j
`|- .\/ = ( join ` K )`
cdlemd4.a
`|- A = ( Atoms ` K )`
cdlemd4.h
`|- H = ( LHyp ` K )`
cdlemd4.t
`|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )`
Assertion cdlemd9
`|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemd4.l
` |-  .<_ = ( le ` K )`
2 cdlemd4.j
` |-  .\/ = ( join ` K )`
3 cdlemd4.a
` |-  A = ( Atoms ` K )`
4 cdlemd4.h
` |-  H = ( LHyp ` K )`
5 cdlemd4.t
` |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )`
6 simpl1
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) )`
7 simpl2
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )`
8 simpl3
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` P ) = ( G ` P ) )`
9 simpr
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` P ) = P )`
10 1 2 3 4 5 cdlemd8
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ ( F ` P ) = P ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )`
11 6 7 8 9 10 syl112anc
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) = P ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )`
12 simpl11
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )`
13 simpl2
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )`
14 simp12l
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) -> F e. T )`
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> F e. T )`
16 1 3 4 5 ltrnel
` |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )`
17 12 15 13 16 syl3anc
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )`
18 simpr
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( F ` P ) =/= P )`
19 18 necomd
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> P =/= ( F ` P ) )`
20 1 2 3 4 cdlemb2
` |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) ) /\ P =/= ( F ` P ) ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) )`
21 12 13 17 19 20 syl121anc
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> E. s e. A ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) )`
22 simp1l1
` |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) )`
23 simp1l2
` |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )`
24 simp2
` |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> s e. A )`
25 simp3l
` |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> -. s .<_ W )`
26 24 25 jca
` |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( s e. A /\ -. s .<_ W ) )`
27 simp1l3
` |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` P ) = ( G ` P ) )`
28 simp3r
` |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) )`
29 1 2 3 4 5 cdlemd7
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )`
30 22 23 26 27 28 29 syl122anc
` |-  ( ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) /\ s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )`
31 30 rexlimdv3a
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( E. s e. A ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) ) )`
32 21 31 mpd
` |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) /\ ( F ` P ) =/= P ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )`
33 11 32 pm2.61dane
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )`