cdleme0fN

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 14-Jun-2012) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleme0.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdleme0.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdleme0.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdleme0.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdleme0.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdleme0.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
	cdleme0c.3	⊢ 𝑉 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 )
Assertion	cdleme0fN	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑉 ≠ 𝑃 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme0.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		cdleme0.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cdleme0.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		cdleme0.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		cdleme0.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6		cdleme0.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7		cdleme0c.3	⊢ 𝑉 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 )
8		simp1l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
9	8	hllatd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
10		simp2l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
11		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
12	11 4	atbase	⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13	10 12	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
14		simp3r	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
15	11 4	atbase	⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16	14 15	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17	11 2	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18	9 13 16 17	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19		simp1r	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
20	11 5	lhpbase	⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21	19 20	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22	11 1 3	latmle2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 )
23	9 18 21 22	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ≤ 𝑊 )
24	7 23	eqbrtrid	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑉 ≤ 𝑊 )
25		simp2r	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 )
26		nbrne2	⊢ ( ( 𝑉 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) → 𝑉 ≠ 𝑃 )
27	24 25 26	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑉 ≠ 𝑃 )

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Theorem cdleme0fN

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