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Theorem cdlemefrs29pre00

Description: ***START OF VALUE AT ATOM STUFF TO REPLACE ONES BELOW*** FIX COMMENT. TODO: see if this is the optimal utility theorem using lhpmat . (Contributed by NM, 29-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemefrs29.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemefrs29.eq ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑𝜓 ) )
Assertion cdlemefrs29pre00 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( ( ( ¬ 𝑠 𝑊𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemefrs29.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemefrs29.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemefrs29.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemefrs29.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemefrs29.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemefrs29.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemefrs29.eq ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑𝜓 ) )
8 anass ( ( ( ¬ 𝑠 𝑊𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) )
9 simpl3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → 𝜓 )
10 7 pm5.32ri ( ( 𝜑𝑠 = 𝑅 ) ↔ ( 𝜓𝑠 = 𝑅 ) )
11 10 baibr ( 𝜓 → ( 𝑠 = 𝑅 ↔ ( 𝜑𝑠 = 𝑅 ) ) )
12 9 11 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( 𝑠 = 𝑅 ↔ ( 𝜑𝑠 = 𝑅 ) ) )
13 eqid ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
14 2 4 13 5 6 lhpmat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) → ( 𝑅 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
15 14 3adant3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) → ( 𝑅 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
16 15 adantr ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( 𝑅 𝑊 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
17 16 oveq2d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = ( 𝑠 ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
18 simpl1l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
19 hlol ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
20 18 19 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → 𝐾 ∈ OL )
21 1 5 atbase ( 𝑠𝐴𝑠𝐵 )
22 21 adantl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → 𝑠𝐵 )
23 1 3 13 olj01 ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑠𝐵 ) → ( 𝑠 ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = 𝑠 )
24 20 22 23 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( 𝑠 ( 0. ‘ 𝐾 ) ) = 𝑠 )
25 17 24 eqtrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑠 )
26 25 eqeq1d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅𝑠 = 𝑅 ) )
27 26 anbi2d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( 𝜑𝑠 = 𝑅 ) ) )
28 12 26 27 3bitr4d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ↔ ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) )
29 28 anbi2d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ( 𝜑 ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) ) )
30 8 29 bitr4id ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑠𝐴 ) → ( ( ( ¬ 𝑠 𝑊𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ↔ ( ¬ 𝑠 𝑊 ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) ) )