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Theorem cdlemg33

Description: Combine cdlemg33b , cdlemg33c , cdlemg33d , cdlemg33e . TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg31.n 𝑁 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
cdlemg33.o 𝑂 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐺 ) ) )
Assertion cdlemg33 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemg31.n 𝑁 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐹 ) ) )
9 cdlemg33.o 𝑂 = ( ( 𝑃 𝑣 ) ( 𝑄 ( 𝑅𝐺 ) ) )
10 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
11 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
12 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) )
13 simp21 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) )
14 simp22l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝐹𝑇 )
15 simp31 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
16 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemg31b0a ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → ( 𝑁𝐴𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
17 10 11 12 13 14 15 16 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑁𝐴𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
18 simp22r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝐺𝑇 )
19 simp32 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) )
20 1 2 3 4 5 6 7 9 cdlemg31b0a ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ∧ ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) → ( 𝑂𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
21 10 11 12 13 18 19 20 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( 𝑂𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
22 simpl1 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) )
23 simpl21 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) ) → ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) )
24 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) ) → ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) )
25 simpl22 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) ) → ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) )
26 simpl23 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) ) → 𝑃𝑄 )
27 simpl31 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
28 simpl33 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) ) → ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) )
29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemg33b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )
30 22 23 24 25 26 27 28 29 syl133anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )
31 30 ex ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑁𝐴𝑂𝐴 ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) ) )
32 simpl1 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) )
33 simpl21 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) ) → ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) )
34 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) ) → ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) )
35 simpl22 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) ) → ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) )
36 simpl23 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) ) → 𝑃𝑄 )
37 simpl32 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) )
38 simpl33 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) ) → ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) )
39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemg33d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )
40 32 33 34 35 36 37 38 39 syl133anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )
41 40 ex ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂𝐴 ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) ) )
42 simpl1 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) )
43 simpl21 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) )
44 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
45 simpl22 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) )
46 simpl23 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → 𝑃𝑄 )
47 simpl31 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
48 simpl33 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) )
49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemg33c ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )
50 42 43 44 45 46 47 48 49 syl133anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )
51 50 ex ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑁𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) ) )
52 simpl1 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) )
53 simpl21 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) )
54 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
55 simpl22 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) )
56 simpl23 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → 𝑃𝑄 )
57 simpl31 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
58 simpl33 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) )
59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemg33e ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )
60 52 53 54 55 56 57 58 59 syl133anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) ∧ ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )
61 60 ex ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( ( 𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) ) )
62 31 41 51 61 ccased ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑁𝐴𝑁 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑂𝐴𝑂 = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) ) )
63 17 21 62 mp2and ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣𝐴𝑣 𝑊 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅𝐺 ) ∧ ∃ 𝑟𝐴 ( ¬ 𝑟 𝑊 ∧ ( 𝑃 𝑟 ) = ( 𝑄 𝑟 ) ) ) ) → ∃ 𝑧𝐴 ( ¬ 𝑧 𝑊 ∧ ( 𝑧𝑁𝑧𝑂𝑧 ( 𝑃 𝑣 ) ) ) )