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Theorem cdlemk45

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 37, p. 119. G , I stand for g, h. X represents tau. They do not explicitly mention the requirement ` ( G o. I ) =/= ( _I |`B ) . (Contributed by NM, 22-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion cdlemk45 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
13 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
14 simp13l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐺𝑇 )
15 simp31 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼𝑇 )
16 6 7 ltrnco ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) → ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 )
17 12 14 15 16 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 )
18 simp33 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
19 17 18 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
20 simp2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) )
21 simp32 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk11t ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ( 𝐺𝐼 ) ) ) ) )
23 12 13 19 20 15 21 22 syl312anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ( 𝐺𝐼 ) ) ) ) )
24 cnvco ( 𝐺𝐼 ) = ( 𝐼 𝐺 )
25 24 coeq2i ( 𝐼 ( 𝐺𝐼 ) ) = ( 𝐼 ∘ ( 𝐼 𝐺 ) )
26 coass ( ( 𝐼 𝐼 ) ∘ 𝐺 ) = ( 𝐼 ∘ ( 𝐼 𝐺 ) )
27 25 26 eqtr4i ( 𝐼 ( 𝐺𝐼 ) ) = ( ( 𝐼 𝐼 ) ∘ 𝐺 )
28 1 6 7 ltrn1o ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐼𝑇 ) → 𝐼 : 𝐵1-1-onto𝐵 )
29 12 15 28 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼 : 𝐵1-1-onto𝐵 )
30 f1ococnv2 ( 𝐼 : 𝐵1-1-onto𝐵 → ( 𝐼 𝐼 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
31 29 30 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐼 𝐼 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
32 31 coeq1d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐼 𝐼 ) ∘ 𝐺 ) = ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ 𝐺 ) )
33 1 6 7 ltrn1o ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → 𝐺 : 𝐵1-1-onto𝐵 )
34 12 14 33 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐺 : 𝐵1-1-onto𝐵 )
35 f1ocnv ( 𝐺 : 𝐵1-1-onto𝐵 𝐺 : 𝐵1-1-onto𝐵 )
36 f1of ( 𝐺 : 𝐵1-1-onto𝐵 𝐺 : 𝐵𝐵 )
37 fcoi2 ( 𝐺 : 𝐵𝐵 → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ 𝐺 ) = 𝐺 )
38 34 35 36 37 4syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( I ↾ 𝐵 ) ∘ 𝐺 ) = 𝐺 )
39 32 38 eqtrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐼 𝐼 ) ∘ 𝐺 ) = 𝐺 )
40 27 39 syl5eq ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐼 ( 𝐺𝐼 ) ) = 𝐺 )
41 40 fveq2d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ( 𝐺𝐼 ) ) ) = ( 𝑅 𝐺 ) )
42 6 7 8 trlcnv ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → ( 𝑅 𝐺 ) = ( 𝑅𝐺 ) )
43 12 14 42 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 𝐺 ) = ( 𝑅𝐺 ) )
44 41 43 eqtrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ( 𝐺𝐼 ) ) ) = ( 𝑅𝐺 ) )
45 44 oveq2d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐼 ( 𝐺𝐼 ) ) ) ) = ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) )
46 23 45 breqtrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅𝐺 ) ) )