Theorem cdlemk46

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 38 (last line), p. 119. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 22-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
	cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
	cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion	cdlemk46	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10		cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11		cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12		simp11	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
13		simp31	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼 ∈ 𝑇 )
14		simp13l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
15	6 7	ltrncom	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐼 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) )
16	12 13 14 15	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐼 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) )
17	16	csbeq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ⦋ ( 𝐼 ∘ 𝐺 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
18	17	fveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ ( 𝐼 ∘ 𝐺 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) = ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) )
19		simp12	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
20		simp32	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
21	13 20	jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
22		simp2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
23		simp13r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
24		simp33	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
25	16 24	eqnetrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐼 ∘ 𝐺 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
26	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk45	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∘ 𝐺 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ ( 𝐼 ∘ 𝐺 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) )
27	12 19 21 22 14 23 25 26	syl313anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ ( 𝐼 ∘ 𝐺 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) )
28	18 27	eqbrtrrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) )