cdlemk46

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 38 (last line), p. 119. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 22-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	\|- B = ( Base ` K )
	cdlemk5.l	\|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemk5.j	\|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemk5.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemk5.a	\|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemk5.h	\|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemk5.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	cdlemk5.r	\|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
	cdlemk5.z	\|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
	cdlemk5.y	\|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
	cdlemk5.x	\|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
Assertion	cdlemk46	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	\|- B = ( Base ` K )
2		cdlemk5.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemk5.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemk5.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemk5.a	\|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemk5.h	\|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemk5.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8		cdlemk5.r	\|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
9		cdlemk5.z	\|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10		cdlemk5.y	\|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11		cdlemk5.x	\|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12		simp11	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		simp31	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> I e. T )
14		simp13l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> G e. T )
15	6 7	ltrncom	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ I e. T /\ G e. T ) -> ( I o. G ) = ( G o. I ) )
16	12 13 14 15	syl3anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( I o. G ) = ( G o. I ) )
17	16	csbeq1d	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> [_ ( I o. G ) / g ]_ X = [_ ( G o. I ) / g ]_ X )
18	17	fveq1d	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( [_ ( I o. G ) / g ]_ X ` P ) = ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) )
19		simp12	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) )
20		simp32	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> I =/= ( _I \|` B ) )
21	13 20	jca	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) ) )
22		simp2	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
23		simp13r	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> G =/= ( _I \|` B ) )
24		simp33	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) )
25	16 24	eqnetrd	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( I o. G ) =/= ( _I \|` B ) )
26	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk45	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) /\ ( I o. G ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( [_ ( I o. G ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) )
27	12 19 21 22 14 23 25 26	syl313anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( [_ ( I o. G ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) )
28	18 27	eqbrtrrd	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) )

Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemk46

Proof