cdlemk45

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 37, p. 119. G , I stand for g, h. X represents tau. They do not explicitly mention the requirement ` ( G o. I ) =/= ( _I |`B ) . (Contributed by NM, 22-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	\|- B = ( Base ` K )
	cdlemk5.l	\|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemk5.j	\|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemk5.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemk5.a	\|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemk5.h	\|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemk5.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	cdlemk5.r	\|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
	cdlemk5.z	\|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
	cdlemk5.y	\|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
	cdlemk5.x	\|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
Assertion	cdlemk45	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	\|- B = ( Base ` K )
2		cdlemk5.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemk5.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemk5.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemk5.a	\|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemk5.h	\|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemk5.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8		cdlemk5.r	\|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
9		cdlemk5.z	\|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10		cdlemk5.y	\|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11		cdlemk5.x	\|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12		simp11	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		simp12	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) )
14		simp13l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> G e. T )
15		simp31	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> I e. T )
16	6 7	ltrnco	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ I e. T ) -> ( G o. I ) e. T )
17	12 14 15 16	syl3anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( G o. I ) e. T )
18		simp33	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) )
19	17 18	jca	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( ( G o. I ) e. T /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) )
20		simp2	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
21		simp32	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> I =/= ( _I \|` B ) )
22	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk11t	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( ( G o. I ) e. T /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` ( I o. `' ( G o. I ) ) ) ) )
23	12 13 19 20 15 21 22	syl312anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` ( I o. `' ( G o. I ) ) ) ) )
24		cnvco	\|- `' ( G o. I ) = ( `' I o. `' G )
25	24	coeq2i	\|- ( I o. `' ( G o. I ) ) = ( I o. ( `' I o. `' G ) )
26		coass	\|- ( ( I o. `' I ) o. `' G ) = ( I o. ( `' I o. `' G ) )
27	25 26	eqtr4i	\|- ( I o. `' ( G o. I ) ) = ( ( I o. `' I ) o. `' G )
28	1 6 7	ltrn1o	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ I e. T ) -> I : B -1-1-onto-> B )
29	12 15 28	syl2anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> I : B -1-1-onto-> B )
30		f1ococnv2	\|- ( I : B -1-1-onto-> B -> ( I o. `' I ) = ( _I \|` B ) )
31	29 30	syl	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( I o. `' I ) = ( _I \|` B ) )
32	31	coeq1d	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( ( I o. `' I ) o. `' G ) = ( ( _I \|` B ) o. `' G ) )
33	1 6 7	ltrn1o	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : B -1-1-onto-> B )
34	12 14 33	syl2anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> G : B -1-1-onto-> B )
35		f1ocnv	\|- ( G : B -1-1-onto-> B -> `' G : B -1-1-onto-> B )
36		f1of	\|- ( `' G : B -1-1-onto-> B -> `' G : B --> B )
37		fcoi2	\|- ( `' G : B --> B -> ( ( _I \|` B ) o. `' G ) = `' G )
38	34 35 36 37	4syl	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( ( _I \|` B ) o. `' G ) = `' G )
39	32 38	eqtrd	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( ( I o. `' I ) o. `' G ) = `' G )
40	27 39	eqtrid	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( I o. `' ( G o. I ) ) = `' G )
41	40	fveq2d	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( R ` ( I o. `' ( G o. I ) ) ) = ( R ` `' G ) )
42	6 7 8	trlcnv	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` `' G ) = ( R ` G ) )
43	12 14 42	syl2anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( R ` `' G ) = ( R ` G ) )
44	41 43	eqtrd	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( R ` ( I o. `' ( G o. I ) ) ) = ( R ` G ) )
45	44	oveq2d	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` ( I o. `' ( G o. I ) ) ) ) = ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )
46	23 45	breqtrd	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I \|` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I \|` B ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )

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Theorem cdlemk45

Proof