cdlemk53

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 7, p. 120. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 26-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ) )
	cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ^◡ 𝑏 ) ) ) )
	cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion	cdlemk53	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ^◡ 𝐹 ) ) ) )
10		cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ^◡ 𝑏 ) ) ) )
11		cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12		simp1l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
13		simp211	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
14		simp212	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
15	13 14	jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
16		simp22	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
17		simp213	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
18		simp23	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
19		simp1r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
20	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk35s-id	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
21	12 15 16 17 18 19 20	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
22	1 6 7	ltrn1o	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
23	12 21 22	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
24		f1of	⊢ ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
25		fcoi1	⊢ ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
26	23 24 25	3syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
27	26	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
28		simpl1l	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
29	13 17 19	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
30	29	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
31		simpl23	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
32		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) )
33	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemkid	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( I ↾ 𝐵 ) )
34	28 30 31 32 33	syl112anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( I ↾ 𝐵 ) )
35	34	coeq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
36	32	coeq2d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) = ( 𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
37	1 6 7	ltrn1o	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → 𝐺 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
38	12 16 37	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → 𝐺 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
39		f1of	⊢ ( 𝐺 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → 𝐺 : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
40		fcoi1	⊢ ( 𝐺 : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( 𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝐺 )
41	38 39 40	3syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ( 𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝐺 )
42	41	adantr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝐺 )
43	36 42	eqtrd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) = 𝐺 )
44	43	csbeq1d	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
45	27 35 44	3eqtr4rd	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
46		simpl1	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) )
47		simpl2	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) )
48		simpl3l	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐼 ∈ 𝑇 )
49		simpr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
50		simpl3r	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) )
51	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk53b	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
52	46 47 48 49 50 51	syl113anc	⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
53	45 52	pm2.61dane	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )

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Theorem cdlemk53

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